MATLAB分段函数与图形可视化：直观展示函数特性

# 1. MATLAB分段函数简介

分段函数是一种分段定义的函数，它根据不同的输入值采用不同的函数表达式。在MATLAB中，分段函数可以通过if-else语句或piecewise函数来实现。

**if-else语句实现分段函数**

if x < 0
  y = -x;
elseif x >= 0 && x < 1
  y = x^2;
else
  y = 1;
end

**piecewise函数实现分段函数**

y = piecewise(x, ...
    x < 0, -x, ...
    x >= 0 && x < 1, x^2, ...
    x >= 1, 1);

# 2. 分段函数的理论基础

### 2.1 分段函数的定义和表示

分段函数是一种定义在不同区间上具有不同解析式的函数。它将定义域划分为多个不相交的子区间，并在每个子区间上定义不同的函数表达式。分段函数的定义形式如下：

f(x) = {
    f1(x), x ∈ I1
    f2(x), x ∈ I2
    ...
    fn(x), x ∈ In
}

其中，I1、I2、...、In是定义域的子区间，f1(x)、f2(x)、...、fn(x)是定义在相应子区间上的函数表达式。

### 2.2 分段函数的连续性和可导性

分段函数的连续性和可导性取决于其子区间上的函数的连续性和可导性。

**连续性：**

分段函数在定义域内连续当且仅当其在每个子区间上连续，并且在子区间交界处函数值相等。

**可导性：**

分段函数在定义域内可导当且仅当其在每个子区间上可导，并且在子区间交界处导数相等。

**例子：**

考虑以下分段函数：

f(x) = {
    x, x < 0
    x^2, x ≥ 0
}

此分段函数在x = 0处不连续，因为左右极限不同。它在x < 0处可导，导数为1；在x ≥ 0处可导，导数为2x。但在x = 0处不可导，因为左右导数不同。

**Mermaid流程图：**

graph LR
subgraph 分段函数的连续性
    A[连续] --> B[不连续]
    B --> C[定义域内连续]
subgraph 分段函数的可导性
    D[可导] --> E[不可导]
    E --> F[定义域内可导]
end

# 3. 分段函数的MATLAB实现**

### 3.1 使用if-else语句实现分段函数

使用if-else语句实现分段函数是一种直接且易于理解的方法。其基本语法如下：

if 条件1
    语句1
elseif 条件2
    语句2
else
    语句3
end

其中，`条件1`和`条件2`是布尔表达式，用于判断是否执行相应的语句块。`语句1`、`语句2`和`语句3`是需要执行的代码。

**代码块：**

x = -5:0.1:5;
y = zeros(size(x));

for i = 1:length(x)
    if x(i) < 0
        y(i) = -x(i);
    elseif x(i) >= 0 && x(i) < 2
        y(i) = x(i)^2;
    else
        y(i) = x(i) - 2;
    end
end

plot(x, y);