根轨迹法详解：绘制规则与系统分析

"根轨迹控制理论" 根轨迹绘制是控制系统分析和设计中的一种重要方法，由W.R. Evans在1948年提出。这种方法关注的是随着系统开环增益K变化，系统特征方程的根（即闭环极点）在复平面上的运动轨迹。根轨迹有助于理解系统的稳定性、响应速度和瞬态行为。 **4.1 引言** 根轨迹的概念在于，它描绘了当系统参数K从0变化到无穷大时，闭环极点在s平面上的路径。这有助于预测系统动态特性的变化，并提供设计控制器的直观工具。例如，如果一个单位负反馈系统的开环传递函数为G0(s) = 1/(s(s+2))，那么随着K的增大，闭环极点会沿着特定的轨迹移动，这些轨迹就是根轨迹。 **4.2 绘制根轨迹的规则** - **幅值条件**：|G(s)H(s)| = 1，其中G(s)和H(s)是系统的开环传递函数。这个条件确保了根轨迹上的点满足开环传递函数的模值等于1。 - **相角条件**：∠G(s)H(s) = 180°(2k+1)，这里的k是整数。这个条件规定了闭环极点沿轨迹移动时，相位的变化。 **4.3 广义根轨迹** 对于具有多个自由度的系统，可能存在多条根轨迹，每条轨迹对应于一个可变参数的改变。这些轨迹通常对称于实轴，起始于开环极点，终止于开环零点，共有max(n, m)条，其中n是开环极点的数量，m是开环零点的数量。 **4.4 闭环零、极点分布与系统性能指标** 闭环零点和极点的分布直接影响系统的性能。比如，系统的上升时间、超调量和稳态误差等关键指标都与这些点的位置密切相关。根轨迹可以帮助我们找到优化这些性能指标的合适参数K值。 **4.5 根轨迹法的应用** 根轨迹法不仅用于分析系统的稳定性，还可以用于综合控制器设计。通过调整K值，可以引导闭环极点到期望位置，以实现所需的系统响应特性。 **4.6 用MATLAB作根轨迹图** 现代控制系统设计中，计算机辅助软件如MATLAB提供了强大的工具来绘制根轨迹，简化了手动计算的复杂性，使得设计师能够快速评估不同参数设置下的系统行为。 根轨迹分析是控制理论的重要组成部分，它提供了对系统动态行为的深入洞察，为系统设计和优化提供了宝贵的指导。通过对根轨迹的理解和运用，工程师能够更好地设计和调试控制系统的性能。