数值分析课程设计：多项式插值的振荡与龙格现象

"这篇文档是关于数值分析课程设计的一个项目，主要探讨了多项式插值中的振荡现象，特别是通过MATLAB实现的拉格朗日插值。文档中提到了龙格现象，并对比了等距划分和切比雪夫点两种不同插值节点的选择对插值效果的影响。" 在数学和数值分析中，多项式插值是一种常见的函数逼近方法，它通过构造一个多项式函数来尽可能地匹配给定的一组数据点。拉格朗日插值是这种方法的一种形式，它利用Lagrange基函数构建插值多项式。在拉格朗日插值中，每增加一个节点，插值多项式的次数就会增加一次，理论上使插值更接近目标函数。然而，龙格(Runge)现象揭示了一个悖论：并非节点越多，插值就一定越精确。在某些情况下，特别是在等距划分的节点上，随着节点数量的增加，插值多项式可能会在函数的端点附近出现剧烈的振荡，导致最大误差增大。 文档中提到的三个函数分别是简单的线性函数、二次函数和指数函数，它们在区间[-p, p]上进行了等距划分的插值实验。实验结果显示，随着等距节点数量的增加，这三个函数在端点处的误差显著增大，这正是龙格现象的体现。这种现象通常出现在函数具有较大的导数变化或在插值区间内有特殊性质（如奇异点）的情况下。 为了解决这个问题，文档还探讨了使用切比雪夫点进行插值的方法。切比雪夫插值是另一种策略，它的节点选择基于切比雪夫多项式，这些点在区间上分布得更均匀，旨在减少振荡现象。实验数据显示，相比于等距划分，切比雪夫点在初期确实能提供更好的插值效果，尤其是在较小的节点数下。然而，即使使用切比雪夫点，随着节点数的增加，两端的误差仍然可能增大，这表明没有任何一种插值方法可以完全避免龙格现象。 这个课程设计项目揭示了多项式插值的复杂性和挑战，特别是当面对振荡现象时。它提醒我们在实际应用中需要谨慎选择插值方法和节点分布，以求得最合适的函数逼近。MATLAB作为强大的数值计算工具，被用来直观地展示和分析这些插值结果，提供了深入理解这一现象的平台。