欧拉法与RK4详解：常微分方程的MATLAB实践

该文档详细介绍了微分方程数值解法中的两种经典算法：欧拉法和龙格-库塔法，以及它们在MATLAB中的应用实例。首先，欧拉方法是一种基础的数值积分技术，包括前进欧拉、后退欧拉和改进欧拉三种形式。欧拉法的原理是通过线性插值近似函数的导数，但其精度较低，且步长增大时误差累积明显，不适合大规模实际计算。为了提高精度，文档引入了改进欧拉法，它采用区间两端导数的平均值，使得精度提升至二阶。 其次，文档重点介绍了龙格-库塔法，这是一种更为精确的数值解法，尤其是其中的RK4（四阶龙格-库塔法）。它在区间内取多个点计算斜率并进行加权平均，以此更准确地估计导数。在RK4中，计算过程涉及四个阶段的增量估算，每个阶段的斜率都基于前一步的结果，这使得其具有四阶精度，即每步误差是h^5阶，总积累误差为h^4阶。这种算法在MATLAB中有着广泛的应用，可以用来求解复杂的微分方程系统。 通过这些方法，文档不仅讲解了理论原理，还提供了具体的MATLAB实现示例，这对于学习者理解和掌握数值微分方程的解决技巧非常有帮助。无论是初学者还是专业人员，都可以从中找到适合自己的方法和工具，以提升微分方程问题的求解效率和精度。