线性规划基础：决策变量、目标函数与约束条件

"本资源为管理运筹学课件，主要讲解了线性规划的三个基本要素：决策变量、目标函数和约束条件，并强调线性规划模型的目标函数必须是决策变量的线性函数，约束条件须为决策变量的线性等式或不等式。通过两个实例——穗羊公司生产计划问题和预制构件下料问题，进一步阐述了如何构建线性规划模型及求解方法。" 线性规划是运筹学中的一种基础优化工具，广泛应用于各种决策问题。它通过设定决策变量、目标函数和约束条件来寻找最优解决方案。以下是关于线性规划的详细说明： 1. **决策变量**：在问题中可以自由选择的变量，例如在穗羊公司的例子中，决策变量x1和x2分别代表产品I和产品II的每周产量。 2. **目标函数**：描述了需要最大化或最小化的量。在上述例子中，目标函数是公司每周的总利润，通常以决策变量的线性组合形式表示。例如，max z = 2x1 + x2，其中z是总利润，x1和x2分别代表产品I和II的产量。 3. **约束条件**：对决策变量的限制，可以是等式或不等式。在生产计划问题中，可能涉及原材料的可用量、生产能力等因素。例如，x1 + x2 ≤ 产能限制，确保总产量不超过生产能力。 4. **线性函数的要求**：线性规划模型中，目标函数和约束条件都必须是决策变量的线性函数，这意味着函数的形式只能包括常数、变量、加法和乘法操作，不能包含更高次幂或其他非线性项。 5. **图解法**：对于只有两个决策变量的问题，可以通过绘制可行域（满足所有约束条件的区域）和目标函数的图形来找到最优解。最优解位于可行域的边界上，并使目标函数达到最大或最小值。 6. **可行解**：所有满足约束条件的决策变量的取值组合构成了可行解集，用集合X表示。在二维平面上，可行解集形成一个区域，可能是多边形或者空集。 7. **最优解**：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或最小值的那个解称为最优解。线性规划的目标是找到这样的最优解。 8. **应用领域**：线性规划广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题、库存管理等，帮助管理者做出最优决策，提高效率或降低成本。 通过实例分析，我们可以更好地理解线性规划的实际应用，比如例2的下料问题，通过设定决策变量x1、x2和x3来表示不同截法的钢筋数量，建立最小化用料的目标函数和不小于100根预制构件的约束条件，从而找到最省料的截取方案。 线性规划是一种强大的工具，它提供了一种科学的方法来解决实际生活和工作中涉及多个变量和约束的优化问题。理解和掌握线性规划的原理和方法，对于解决复杂的管理决策问题具有重要意义。