0-1对称矩阵的特征多项式特性及行和关系

本文主要探讨的是关于(0-1)对称矩阵的特征多项式和特征值的相关理论。(0-1)对称矩阵是指主对角线可以有非零元素的0-1矩阵，这类矩阵在图论中有重要应用。论文的核心贡献在于提出了两个关键发现： 1. 特征多项式与图的性质关联：作者证明了(0-1)对称矩阵A的特征多项式P(x; A)的前几个系数可以通过矩阵所对应的图的特定特征来确定，包括边数(e)，环数(i)，以及三角形的数量(N)。这表明了图的拓扑结构对于矩阵的代数特性具有显著影响。 2. 特征值与矩阵性质的关系：当矩阵A的行和相等时，即所有行元素之和相等，论文给出了特征值与矩阵本身及补阵之间的一种关系式。特别地，如果A的行和等于σ，那么σ可能是A的单重特征值，而(n-σ)可能是其补阵Ã的单重特征值。这个关系揭示了行和在确定特征值分布中的作用。 此外，文中还引用了Perron-Frobenius定理和Hoffman定理，这两个经典理论被用来证明(0-1)对称矩阵的谱半径与特征方程的关系。通过这些理论工具，文章进一步探讨了不可约矩阵和可约矩阵的概念，以及特殊分块矩阵的特征多项式和特征值的性质。 这篇1984年的论文深入研究了(0-1)对称矩阵的特征多项式和特征值，将它们与图论的参数紧密联系，并通过数学定理揭示了矩阵的结构性质对其代数特性的决定性影响。这对于理解这类矩阵的性质以及在实际问题中的应用具有重要意义。