图论基础：平面图与非平面图解析

"平面图与非平面图的概念及其在图论中的重要性，以及图的平面嵌入。书中还提及了完全图K4和部分完全二部图K1,n、K2,n、K3,n的平面性。" 平面图与非平面图是图论中的基础概念，它们涉及到如何在平面上无交叉地绘制图。平面图定义为一个无向图，可以在平面上绘制，使得除了图的顶点之外，没有任何两条边相交。平面图的平面嵌入则是将这个图无交叉地画在平面上的方法。相反，如果一个图无法平面嵌入，即无法无交叉地画在平面上，那么它被称为非平面图。例如，四阶完全图K4虽然有相交的边，但可以通过改画使其变为平面图，而五阶完全图K5通常是非平面图，因为它无法避免边的交叉。 在图论中，完全二部图K1,n、K2,n和K3,n具有重要的地位。K1,n由n个顶点和一个单独的顶点组成，其标准画法就是平面的。K2,n在标准形式下可能不是平面的，但可以转换为平面嵌入的形式。K3,n同样可以转换为平面图。这些图的平面性意味着它们在实际应用中，如网络设计或路由问题，可以直观地表示而不会导致路径冲突。 图论算法是解决各种实际问题的工具，包括图的遍历、最短路径、网络流、图的染色和连通性等问题。本书《图论算法理论、实现及应用》由王桂平、王衍、任嘉辰编著，系统地介绍了图论的基本概念和算法，特别关注算法的实现和应用。书中涵盖了邻接矩阵和邻接表等图的存储方法，以及图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流、图的连通性等经典问题。这本书不仅适合作为高等院校计算机科学及相关专业的教材，也适合ACM/ICPC等算法竞赛的训练材料。 通过图论，我们可以更好地理解和解决现实世界中的复杂问题，比如交通网络规划、社交网络分析、计算机网络的设计等。欧拉的七桥问题就是一个早期的图论应用实例，它展示了如何通过抽象和模型化来解决实际问题。欧拉的解决方案不仅限于这个问题，他还发展了关于图的遍历问题的通用准则，这对于后续的图论研究有着深远的影响。