非线性优化与Matlab程序设计实践

"最优化方法及其Matlab程序设计，作者马昌凤，2009年出版，适合数学与应用数学、信息与计算科学等相关专业本科及研究生阅读，讲解了非线性优化的理论与算法，并提供了Matlab实现。内容涵盖最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法、信赖域法、线性最小二乘问题、序列二次规划法等，还介绍了Matlab优化工具箱的使用。" 本文将详细讨论书中的关键知识点： 1. **最速下降法与牛顿法**：最速下降法是一种基本的优化方法，通过沿着梯度的反方向移动来减小目标函数值。牛顿法则是基于泰勒展开，利用目标函数的二阶导数（海塞矩阵）构建迭代方向，通常比最速下降法收敛更快。 2. **共轭梯度法**：共轭梯度法是一种求解大型稀疏线性系统的有效方法，特别适用于处理对称正定的线性系统。它结合了最速下降法和梯度的共轭特性，可以避免在每次迭代时进行全矩阵运算。 3. **拟牛顿法**：拟牛顿法是牛顿法的一种近似，使用BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）或DFP（Davidon-Fletcher-Powell）算法，通过近似海塞矩阵来更新迭代方向，不需要实际计算海塞矩阵，降低了计算复杂性。 4. **信赖域法**：信赖域方法是在迭代过程中，限制每一步的更新在一个预定义的“信赖域”内，以确保迭代的安全性和效率。这种方法允许灵活地调整步长，以适应目标函数的局部特性。 5. **线性最小二乘问题的解法**：线性最小二乘问题寻求最小化残差平方和的解，可以使用高斯-消元法、QR分解或者正规方程来求解。 6. **序列二次规划法（SQP）**：SQP方法将非线性优化问题转化为一系列二次规划问题来求解，每次迭代中优化一个近似的二次模型，以逼近原问题的全局最优解。 7. **Matlab优化工具**：Matlab提供了一系列内置的优化工具箱，如fminunc、fmincon等，用于解决无约束和约束优化问题，支持各种优化算法，便于用户编程实现和调用。 这本书不仅提供了理论基础，还强调了算法的实现，通过Matlab程序设计让读者能够理解和应用这些方法。书中包含的实例和习题有助于巩固理论知识，而附录中关于Matlab优化工具箱的介绍，则使得读者能够利用现有工具解决实际问题。对于希望深入理解和应用最优化方法的学生和研究人员来说，这是一本非常实用的参考资料。