连续时间马氏链收敛速度显式估计：新方法与应用

"这篇论文是‘首发论文’，由侯振挺、张卓和闫振海撰写，来自中南大学数学与统计学院，探讨了连续时间马氏链（Continuous Time Markov Chains, CTMCs）的收敛速度的显式估计。文章通过离散时间马氏链和h-骨架链的方法，提供了新的估计技术，适用于包含瞬时态或非保守态的马氏链。论文中应用这些结果分析了奇异马尔可夫链和Kolmogorov矩阵的实例，并利用R-K紧化过程和伊藤游程漂移理论。关键词包括指数遍历性、马氏链、R-K紧化和泊松点过程。" 在连续时间马氏链的研究中，收敛速度的估计是一个关键问题，因为它直接影响到对系统动态行为的理解和预测。通常，马氏链的收敛是指其状态转移概率随时间向平稳分布的趋近。本文首次提出了一种显式估计方法，不同于以往依赖耦合理论和随机单调方法的估计，尤其在处理包含瞬时态（即瞬间达到稳态的特殊状态）或非保守态（不保持总概率不变的状态）的马氏链时，这一新方法显示出了优势。 作者利用离散时间马氏链的结果作为基础，结合h-骨架链的概念来推导连续时间马氏链的收敛速度。h-骨架链是一种简化马氏链结构的技术，通过选择一组核心状态来代表原链的动态，有助于降低复杂性并更好地理解系统的收敛性质。 论文中的两个实例分析是奇异马尔可夫链和Kolmogorov矩阵。奇异马尔可夫链指的是具有非平凡特征值的马尔可夫链，这可能导致非平凡的长期行为。而Kolmogorov矩阵是出现在某些随机过程中的矩阵，例如在物理和生物科学中描述过程的转移概率。通过R-K紧化过程（可能是Ruelle-Kolmogorov紧化，一种处理无穷大状态空间马氏链的技术）和伊藤游程漂移理论（基于伊藤微分方程的随机过程理论），作者深入研究了这些链的收敛特性。 伊藤游程漂移理论是随机过程理论的重要组成部分，它涉及布朗运动和其他随机过程在时间上的演化，特别是在存在漂移和扩散项时。这种理论在连续时间马氏链的分析中起着重要作用，因为它能帮助理解链如何在时间和空间中移动，从而影响其收敛速度。 这篇论文为连续时间马氏链的收敛速度分析提供了一个新的工具箱，特别是对于那些包含特定复杂状态的链，它的应用和理论贡献对于进一步理解马氏链的动态行为和优化计算效率具有重要意义。