逻辑回归详解：函数集与损失函数优化

机器学习中的逻辑回归是一种经典的分类算法，主要用于二分类问题。它基于sigmoid函数（也称 logistic 函数）构建概率模型，通过估计数据点属于某个类别的可能性来预测输出。以下是逻辑回归的核心步骤： 1. **函数集设置**： - 逻辑回归的核心是sigmoid函数：\( \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \)，其中\( z = w \cdot x + b \)，\( w \)是权重向量，\( b \)是偏置项，\( x \)是输入特征向量。 - 函数集包括所有不同的权重向量\( w \)和偏置\( b \)组合，表示两个类别的条件概率：\( P(C_1|x) = \sigma(z) \) 和 \( P(C_2|x) = 1 - \sigma(z) \)，其中\( C_1 \)和\( C_2 \)分别对应正例和负例。 - 每个数据点\( x_i \)对应一个z值，根据\( z \)的值，模型决定样本更偏向于哪个类别。 2. **函数的好坏评估**： - **交叉熵损失函数**：逻辑回归的目标是找到一组权重和偏置使得数据的概率预测最接近实际类别标签。假设训练数据集包含\( (x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N) \)，其中\( y_n \)是第\( n \)个样本的真实标签（1表示正例，0表示负例）。损失函数\( L(w, b) \)衡量模型预测与真实标签的差异，通常使用交叉熵计算，即： \[ L(w, b) = -\sum_{n=1}^{N} (\omega_n \cdot y_n \ln(\sigma(z_n)) + (1 - \omega_n) \ln(1 - \sigma(z_n))) \] 其中\( \omega_n = 1 \)如果\( y_n = 1 \)，否则为0。目标是最小化这个损失函数，以找到最优的\( w^* \)和\( b^* \)。 - 替换sigmoid函数表达式，可以将损失函数重写为对数似然的形式，便于求解优化问题：\( L(w, b) = -\sum_{n=1}^{N} [y_n \ln(f(x_n)) + (1 - y_n) \ln(1 - f(x_n))] \)，这里\( f(x) = \sigma(z) \)。 3. **找到最佳函数**： - 通过梯度下降或其他优化算法寻找使损失函数最小化的\( w^* \)和\( b^* \)。优化过程就是不断地调整权重和偏置，使得预测的概率更加接近训练数据的真实标签分布。 - 对于复杂的优化问题，可能需要迭代更新权重和偏置，直到达到预定的收敛条件或达到最大迭代次数。 总结，逻辑回归在机器学习中扮演着重要的角色，它通过sigmoid函数建立概率模型，用以估计数据点属于不同类别的概率，并通过优化损失函数来确定最优参数，从而实现对新数据的分类预测。这种方法在许多实际应用中表现出良好的性能，尤其是在处理二分类问题时。