短时傅立叶变换：时频分析的关键技术

"本文介绍了连续信号的短时傅立叶变换（STFT）的概念，强调了其在时变信号分析中的重要性。STFT通过局部傅立叶变换来获取信号在不同时间点的频谱信息，从而实现时频定位。文章详细阐述了STFT的定义、窗函数的作用以及如何通过窗函数在时域和频域上实现有限支撑，以达到时频分析的目的。此外，文中提及了STFT与分辨率的关系，并提到了现代信号处理中的其他相关技术，如Gabor展开、Wigner分布、Cohen类分布、多抽样率信号处理和小波变换。" 连续信号的短时傅立叶变换（STFT）是解决传统傅立叶变换无法有效分析时变信号问题的一种方法。在1946年由Gabor提出，STFT的核心思想是在时间轴上对信号应用一个窗函数，然后对每个窗口内的信号进行傅立叶变换，以此来捕获信号在不同时间点的频谱特性。公式（2.1.1）展示了STFT的计算过程，其中窗函数g(t)通常选择对称且有限支撑的函数，以减少时频分辨率之间的矛盾。 窗函数g(t)的选择至关重要，因为它决定了STFT在时域和频域的局部化程度。有限支撑的窗函数使得STFT基函数在时频域都是局部存在的，从而实现对信号的时频定位。然而，窗函数的宽度和形状会直接影响到时域和频域的分辨率，宽窗口提供更好的时间分辨率，而窄窗口则提供更好的频率分辨率，但这两者不能兼得，这就是著名的时频分辨率权衡。 STFT的结果是二维函数\( X(\omega, t) \)，表示信号在不同时间t的频率成分\( \omega \)。通过对STFT的理解，我们可以进一步研究其他时频分析方法，如Gabor展开，它利用Gabor核来描述信号；Wigner分布，一种更全面的时频表示方法，能够揭示信号的相互作用和瞬时频率；以及Cohen类分布，通过调整核函数来抑制交叉项，提高分析精度。 此外，文中还提到了多抽样率信号处理，这包括信号的抽取和插值，以及滤波器组设计，它们是实现小波变换的重要工具。小波变换，作为时频分析的延伸，提供了一种更灵活的方式，尤其是通过多分辨率分析和离散小波变换，可以更精确地捕捉信号的局部特征。 短时傅立叶变换是现代信号处理中的基础工具，它为理解和分析时变信号提供了有力手段。结合其他相关理论和技术，如Gabor展开、Wigner分布、小波变换等，我们可以更深入地揭示信号的本质特性。