卡尔曼滤波详解：从基础到应用

"这篇文档是关于卡尔曼滤波的详细介绍，包括了卡尔曼滤波的基本原理、应用背景、数学公式以及实例分析。作者是Greg Welch和Gary Bishop，由姚旭晨翻译，主要讨论了离散卡尔曼滤波器在自主导航等领域的应用，并提到了扩展卡尔曼滤波器作为其衍生形式。文档中还引用了多本相关著作作为参考资料，为深入学习提供了路径。" 卡尔曼滤波是一种统计滤波方法，由Rudolf E. Kalman在1960年提出，主要用于处理线性高斯系统的不确定性问题。它通过一系列递归公式，对系统状态进行预测和更新，以最小化估计的均方误差。这种滤波器在现代信号处理、控制理论、航空航天、自动驾驶、生物医学等领域有着广泛应用。 离散卡尔曼滤波器基于离散时间过程，描述了系统状态如何随时间演变。方程式(1.1)表示状态变量x在时间k的值依赖于前一时刻的值x(k-1)，输入u(k-1)和随机噪声w(k-1)。方程式(1.2)则描述了观测变量z与系统状态x的关系，加上观测噪声v(k)。 卡尔曼滤波器的关键在于其数学框架，包括预测步骤和更新步骤。预测步骤利用系统的动态模型（方程1.1）对未来状态做出预测，而更新步骤则结合实际观测数据（方程1.2），通过观测模型修正预测状态，以得到更准确的估计。 在实际应用中，卡尔曼滤波器的性能可能受到非线性影响。为了解决这个问题，扩展卡尔曼滤波器（EKF）被提出，它通过线性化非线性函数来近似应用卡尔曼滤波器的算法，虽然这种方法在某些情况下可能不够精确，但在许多工程实践中仍然是有效的工具。 文档中还提到，对于深入学习卡尔曼滤波器，可以参考多个经典文献，如[Maybeck79,Sorenson70,Gelb74,Grewal93,Lewis86,Brown92,Jacobs93]，这些书提供了丰富的理论基础和实际应用案例。 卡尔曼滤波是一种强大的估计工具，能够处理噪声和不确定性，广泛应用于需要实时估计系统状态的场景。这篇文档是理解和应用卡尔曼滤波器的良好起点，不仅提供了理论介绍，还有实例分析，有助于读者掌握这一核心技术。