大连理工2022秋矩阵与数值分析上机作业：迭代算法详解与应用

在大连理工大学2022秋季矩阵与数值分析的上机作业中，学生被要求解决三个关键问题，涉及到数值分析中的关键概念和算法。以下是详细的知识点解析： 1. **第四章课后习题** - 第12题（1）：该部分涉及的是牛顿迭代法的应用，用于求解非线性方程 \( \Phi(x) = x^3 - x^2 - x - 1 = 0 \)。学生使用符号计算工具 `syms` 定义了函数 `Phi` 和精度误差 `epsilon`。通过迭代更新 \( x \)，直到 \( |X - x_1| \leq \epsilon \)，求解方程的根。最终结果表明，经过4次迭代，找到的解 \( x = 1.839286755 \)。 2. **第四章课后习题** - 第16题（1）：这是一个二次函数 \( \Phi(x) = x^3 + 2x^2 + 10x - 20 \) 的求根问题。同样使用牛顿迭代法，学生计算出该方程的根为 \( x = 1.368808108 \)，也是经过4次迭代得到的近似解。 3. **第六章课后习题** - 第12题：此题涉及到复化梯度法在求解定积分的问题上的应用。学生需要计算给定函数 \( SS = 4\alpha \int_{0}^{\pi/2} (1 - \frac{c^2}{\alpha^2}\sin^2\theta)d\theta \) 的值，其中 \( \alpha = 7782.5 \) 和 \( c = 972.5 \) 是已知参数。通过符号计算工具，学生编写了程序来估算积分结果，将复杂的三角函数积分转化为数值计算。 这些题目涵盖了矩阵与数值分析中的核心内容，如数值求解非线性方程、数值积分方法以及迭代算法（如牛顿法）的实际应用。完成这些作业有助于学生理解并掌握数值分析的基本原理和技术，包括符号计算、迭代过程的控制以及实际问题的数值求解策略。同时，这也是评估学生编程技能和理论知识相结合的重要实践环节。