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Bezout 恒等式的计算
夏慧珠
宁波大学理学院,浙江宁波 (315211)
E-mail: huizhuxia@yahoo.com.cn
摘要:本文研究了多项式理想中的 Bezout 恒等式,即对多项式 及理想
g
1
,,
s
f<> ,若
属于此理想,则有 关于多项式组
g g
1
,,
f 的系数为多项式的线性表示:
11
s
ghf hf=⋅++⋅ .这里我们给出了一个求此表示形式的算法.
关键词:Bezout 恒等式,理想,Groebner 基,Buchberger 算法
中图分类号:O174.14
1.引言
对于数域 上的单变元多项式
k
,
g
,存在等式
gcd( , )af bg fg
+⋅ =
,其中 表
示最大公因式, 为数域
k
上的多项式.此等式称为 Bezout 恒等式,由 Euclid 算法即可
得到.更进一步地,我们考虑单变元多项式组
gcd
,ab
1
(, , )
f ,记它们的最大公因式为
,则可
由归纳法通过 Euclid 算法找到 及多项式组
p
1
(, , )
qq ,使得
11
s
qf qf
⋅++⋅ .
现在考虑多变元多项式的情形.先定义此时的Bezout恒等式如下:多项式 关于多项式
组
g
1
,,
f 的系数为多项式的线性组合的表示形式,即
11
s
ghf hf
⋅++⋅ .此 时 不能
是任意的多项式,实际上,只有当 属于理想
g
g
1
,,
s
f
> 时才有可能存在这样的等式.下
面我们给出一个算法用于判断 是否存在此种线性表示,并且在存在这样的表示时给出具体
的表示形式.在实际中,这种Bezout恒等式有着许多应用,如文献
g
[1]
在利用Groebner基求解
多维多通道有限脉冲响应型(FIR)滤波器
[1]
时,就是先把FIR的表示转化成多项式的表示,
并最终归结为寻找上述多项式理想中的Bezout恒等式的问题.
2.预备知识
定义 1
[2]
设
1
, ,
是 中的多项式,则由
1
[, , ]
n
kx x
1
, ,
生成的理想记为
1
,,
s
f
> =
11
1
:, , [, ,]
s
ii s n
i
hf h h kx x
=
⎫
∈
⎬
⎩⎭
∑
.
定义 2
[2]
设
ax
α
α
=
∑
是一个非零多项式,
1
[, , ]
n
kx x
,
是一个单项式序.
(1)
的首项次数记为
0
deg( ) max( : 0)
n
multi f Z a
α
α
≥
∈≠
(2)
的首系数记为
1