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三接收器三降级消息集并行广播信道容量区域研究
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更新于2024-07-09
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本文是一篇发表在2018年7月《IEEE Transactions on Information Theory》的研究论文,标题为"具有三个接收器和三个降级的消息集的并行降级广播信道的容量区域"。作者Hon-Fah Chong和Ying-Chang Liang是IEEE Fellow,他们共同探讨了一个特殊的多用户通信模型:一个拥有三个接收器的广播信道,其中包含三种不同类型的信息——公共信息面向所有用户,其次要信息仅针对接收器2和3,以及私密信息仅针对接收器3。 在这个系统中,信息被发送到一组并行的降级广播信道,这些信道之间的降级关系可能各不相同。最一般情况下,整个广播信道由六个并行的降级信道组成,每个信道的降级顺序不同。论文的核心关注点在于找到这个复杂系统中的可实现速率区域,这涉及到选择独立输入随机变量和为每个子信道设计适当的辅助随机变量。 Nair和El Gamal提出的可实现速率区域策略被作为研究的基础。该策略通过精心设计输入数据的编码方式,使得每个接收者能够根据其接收到的信息的可靠性来解码,从而最大化信息传输效率。然而,文章并没有停留在理论层面,它进一步证明了当广播信道简化为五并行降级信道时,Nair和El Gamal的可实现速率区域实际上达到了容量区域。对于另一种特定类型的广播信道,即由六个信道组成的模型,也展示了相同的结论,即通过优化策略可以达到理论上的极限性能。 这篇论文不仅对并行降级广播信道的容量区域有深入理解,而且提供了实际应用中的编码和解码方法优化策略,这对于无线通信网络、多媒体分发以及多用户信息处理等领域具有重要的理论价值和实践指导意义。
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CHONG AND LIANG: CAPACITY REGION OF THE PARALLEL DEGRADED BROADCAST CHANNEL 5021
I
T
1
; Z
N
|T
0
+ I
X
N
;Y
N
|T
0
, T
1
≤
N
n=1
I
T
1
,
˜
Z
n−1
1
; Z
n
|T
0
, Z
N
n+1
+
N
n=1
I
X
n
;Y
n
|T
0
, T
1
, Z
N
n+1
,
˜
Z
n−1
1
Proof: Refer to Appendix A.
Remark 2: We note that the following Markov chains,
X → Y → Z and X → Y →
˜
Z, must hold in order to
prove Lemma 1. The Csiszár-sum identity alone is insufficient
to prove Lemma 1 for all distributions on
X, Y, Z,
˜
Z
.
We can now state the capacity theorem for the first class
of three-user parallel degraded BCs:
Theorem 2: The capacity region, C
π,1
, of a discrete mem-
oryless three-receiver BC with three-degraded message sets,
consisting of the product of five parallel degraded BCs given
by (1)-(5), is given by R
π
in Corollary 1 with X
6
∅.
Proof: The bulk of the proof (and the more interesting
part) lies in the converse. The identification of the auxiliary
random variables is quite standard in the proof of converses for
product channels. We will focus on the proof for (23) and (25).
The proof for the rest of the inequalities follow accordingly
and is given in Appendix B.
To prove the inequality (23), we consider the following
inequalities:
I
W
1
; M
N
1
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
1
|W
1
≤
N
n=1
I
W
1
, M
n−1
1,1
; M
1,n
+
N
n=1
I
X
1,n
; Z
1,n
|W
1
, M
n−1
1,1
. (31)
I
W
1
; M
N
2
|M
N
1
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
2
|W
1
, Z
N
1
≤
N
n=1
I
W
1
, M
N
1
, M
n−1
2,1
; M
2,n
+
N
n=1
I
X
2,n
; Z
2,n
|W
1
, M
N
1
, M
n−1
2,1
. (32)
I
W
1
; M
N
3
|M
N
(1→2)
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
3
|W
1
, Z
N
(1→2)
≤ I
W
1
, M
N
(1→2)
; M
N
3
+ I
X
N
3
; M
N
3
|W
1
, M
N
(1→2)
−I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
= I
X
N
3
; M
N
3
− I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
≤
N
n=1
I
X
3,n
; M
3,n
− I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
(33)
I
W
1
; M
N
4
|M
N
(1→3)
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
4
|W
1
, Z
N
(1→3)
≤ I
W
1
, M
N
(1→3)
; M
N
4
+ I
X
N
4
; M
N
4
|W
1
, M
N
(1→3)
+ I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
− I
W
2
, W
3
; M
N
(3→4)
|W
1
, Z
N
(1→4)
= I
X
N
4
; M
N
4
+ I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
− I
W
2
, W
3
; M
N
(3→4)
|W
1
, Z
N
(1→4)
≤
N
n=1
I
X
4,n
; M
4,n
+ I
W
2
, W
3
; M
N
3
|W
1
, Z
N
(1→3)
− I
W
2
, W
3
; M
N
(3→4)
|W
1
, Z
N
(1→4)
(34)
I
W
1
; M
N
5
|M
N
(1→4)
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
5
|W
1
, Z
N
(1→4)
≤ I
W
1
, Y
N
1
, Z
N
2
, M
N
(3→4)
; M
N
5
+ I
X
N
5
; Z
N
5
|W
1
, Y
N
1
, Z
N
2
, M
N
(3→4)
+ I
W
2
, W
3
; M
N
(3→4)
|W
1
, Z
N
(1→4)
(a)
≤
N
n=1
I
W
1
, Y
N
1
, Z
N
2
, M
N
(3→4)
, M
n−1
5,1
, Z
N
5,n+1
; M
5,n
+
N
n=1
I
X
5,n
; Z
5,n
|W
1
, Y
N
1
, Z
N
2
, M
N
(3→4)
, M
n−1
5,1
, Z
N
5,n+1
+ I
W
2
, W
3
; M
N
(3→4)
|W
1
, Z
N
(1→4)
. (35)
where (a) follows from the Csiszár-sum identity.
Combining (31) to (35), we obtain
I
W
1
; M
N
(1→5)
+ I
W
2
, W
3
; Z
N
(1→5)
|W
1
≤
N
n=1
I
U
1,n
; M
1,n
+
N
n=1
I
X
1,n
; Z
1,n
|U
1,n
+
N
n=1
I
U
2,n
; M
2,n
+
N
n=1
I
X
2,n
; Z
2,n
|U
2,n
+
N
n=1
I
X
3,n
; M
3,n
+
N
n=1
I
X
4,n
; M
4,n
+
N
n=1
I
U
5,n
; M
5,n
+
N
n=1
I
X
5,n
; Z
5,n
|U
5,n
where
U
1,n
W
1
, M
n−1
1,1
(36)
U
2,n
W
1
, M
N
1
, M
n−1
2,1
(37)
U
5,n
W
1
, Y
N
1
, Z
N
2
, M
N
(3→4)
, M
n−1
5,1
, Z
N
5,n+1
. (38)
To prove the inequality (25), we consider the following
inequalities:
I
W
1
; M
N
1
+ I
W
2
;Y
N
1
|W
1
+ I
W
3
; Z
N
1
|W
1
, W
2
≤
N
n=1
I
W
1
, M
n−1
1,1
; M
1,n
+
N
n=1
I
W
1
, W
2
, Y
n−1
1,1
, M
n−1
1,1
;Y
1,n
|W
1
, M
n−1
1,1
+
N
n=1
I
X
1,n
; Z
1,n
|W
1
, W
2
, M
n−1
1,1
, Y
n−1
1,1
(39)
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