郭科-陈聆-魏友华《最优化方法及其应用》课后习题详解与三维优化问题

本资源是一份关于最优化方法及其应用的课程课后习题解答，由郭科、陈聆、魏友华编著，适合数学类本科高年级学生、工科研究生以及数学建模竞赛参赛者和工程技术人员参考。主要内容涉及线性规划问题的求解。 首先，习题一探讨了一个连续函数在无约束和有约束条件下的最优化问题。无约束情况下，目标函数要求最小化fx(x, y)，通过图形分析，发现在点(x=3, y=4)处取得最小值，最优值为0。而在有约束条件下，如gx(x, y) = -x + 2y - 5 ≤ 0和gx(x, y) = x + y - 5 ≥ 0的限制下，最优解是当x=15/4, y=4/5时，对应的最优值为65/8。 接着，针对一个实际问题，如何设计一个矩形无盖油箱，使得其容量最大化但外部总面积S保持不变。这个问题被转化为一个三维优化问题，模型的数学表达式涉及到长、宽和高度的变量x, y, z，目标是最大化体积的同时满足面积S的限制。 通过这两个例子，我们可以看到最优化方法的应用广泛，不仅限于理论上的数学模型构建，也包括实际问题中的优化决策。解题过程中运用了图解法和数值求解策略，这对于理解优化问题的求解过程和技巧非常重要。学习者可以通过这些习题实践最优化算法，如梯度下降法或单纯形法，提升解决实际问题的能力。