MATLAB优化：SQP算法与拉格朗日函数Hessian矩阵更新

本文介绍了在MATLAB优化工具箱中使用序列二次规划（SQP）算法求解有约束非线性优化问题的过程，特别是如何更新拉格朗日函数的Hessian矩阵。SQP算法是解决中、小规模非线性规划问题的一种高效方法，通过迭代求解一系列二次规划子问题来逼近原问题的最优解。 在MATLAB的fmincon函数中，SQP算法用于找到多变量有约束的非线性函数的最小值。这个函数涉及到线性和非线性约束，以及变量的上界和下界。fmincon的输出包括解、目标函数值、退出标志和输出结构，便于分析算法的执行情况。 SQP算法的核心步骤包括： 1. **更新拉格朗日函数的Hessian矩阵**：在每次迭代中，Hessian矩阵通过BFGS方法得到正定的拟牛顿近似值。BFGS算法提供了一种方法来近似Hessian矩阵，确保其在迭代过程中保持正定。Hessian矩阵表示目标函数的二阶导数，反映了函数曲面的曲率。初始时，Hessian矩阵通常初始化为正定矩阵，如单位阵I。 2. **求解二次规划问题**：利用近似的拉格朗日函数Hessian矩阵构建一个二次规划子问题，该子问题通常更容易求解。通过求解这个二次规划，可以找到下一个迭代点。 3. **一维搜索与目标函数计算**：在找到新的迭代点后，会进行一维搜索来确定步长，以优化目标函数，并计算新的目标函数值。 序列二次规划算法的优势在于它能处理非线性约束，并通过逐步提高二次规划子问题的精确度来逼近原问题的最优解。对于非线性较强烈的问题，这种方法依然有效。在MATLAB中，SQP算法的实现包括了对Hessian矩阵的迭代更新，这一步至关重要，因为它直接影响到优化过程的收敛速度和解的质量。 SQP算法是一种迭代方法，通过不断改进拉格朗日函数的二次近似来逼近非线性优化问题的全局最优解。在MATLAB的优化工具箱中，fmincon函数的SQP实现为用户提供了强大而灵活的非线性优化解决方案。