最小二乘法在m次多项式拟合中的应用与系数确定

本文主要讨论的是基于最小二乘原理的多项式拟合方法在数值计算中的应用。首先，文章介绍了最小二乘原理，这是一种常用的数据拟合技术，通过最小化误差平方和找到数据与函数的最佳匹配，尤其适用于曲线拟合问题。该原理的核心思想是求解使残差平方和最小化的参数，即多项式函数的系数。 在多项式拟合的具体应用中，给定一组测量数据( ) , , 1,2, , i i xy j n =  ，目标是找到一个m次多项式函数 0 0 1 1 () () () () m m px a x a x a x ϕ ϕ ϕ = + + +  ，其中已知部分为常数项和一次项( 0 () m k k x ϕ =),这些项线性无关。为了确定最佳拟合，需要求解使得残差向量 2 2 0 1 1 1 0 ( , , , ) ( ) ( ) n n m m j j k k j j j j k aa a px y a x y ϕ ϕ = = =     = − = −       ∑ ∑∑  最小化的系数 0 1 , , , m a a a  。当多项式为m次时，这些系数构成的向量可以看作是一个(m+1)阶的二次多项式，通过多元函数的极值理论求解。 具体来说，对每个系数 k a 进行偏导数运算，得到关于数据点的线性方程组，如 * 1 0 2 ( ( ) ) ( )( 0,1, , ) n m i i j j k j j i k a x y x k m a ϕ ϕ ϕ = = ∂ = − = ∂ ∑∑  。解这个方程组，即可得到使拟合函数误差平方和最小化的系数值。当多项式展开至最高次数为0时，即式(1.4)，称为m次最小二乘拟合多项式，它反映了数据点与m次多项式函数关系的最优形式。 本文介绍了如何通过最小二乘法计算多项式拟合中的参数，强调了这种方法在实际数据处理中的应用价值，特别是在曲线拟合过程中，它提供了一种有效且简便的数值求解策略。