![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/19682944/bg1.jpg)
第 11 卷第 5 期
2012 年 9 月
杭州师范大学学报(自然科学版)
Journal of Hangzhou Normal University(Natural Science Edition)
Vol .11 No .5 ;
Sep .2012
收稿日期 :2012‐04‐20
通信作者 :周美秀(1969 — ) ,女 ,教授 ,主要从事微分方程研究 .E‐mail :zw y950120@ 163 .com
DOI :11 .3969/
j
.issn .1674‐232X .2012 .05 .009
关 于 A‐G 的 几 个 不 等 式
周美秀
1
,张小明
2
(1 .浙江广播电视大学 开放与远程教育研究院 ,浙江 杭州 ,310030 ;2 .浙江海宁电大 ,浙江 海宁 ,314400)
摘 要 :为加强或加细几个著名的算术‐几何不等式 ,研究用方差来估算两者的差 ,并利用一个统一的证明
模式 ,加强或推广这些结果 .
关键词 :算术平均 ;几何平均 ;最值压缩定理 ;不等式
中图分类号 :O122 .3 MSC2010 :26D15 文献标志码 :A
文章编号 :1674‐232X(2012)05‐0426‐07
0 引 言
不加特殊说明 ,本文都设
n
∈
N ,n
≥
2 ,a
=
a
1
,a
2
,… ,a
n
∈
R
n
,w
=
w
1
,w
2
,… ,w
n
∈
0 ,1
n
且
∑
n
i
=
1
w
i
=
1 ,A w ,a
=
∑
n
i
=
1
w
i
a
i
为 a 的加权算术平均 ,其中 w
i
≥
0 ,i
=
1 ,2 ,… ,n 为权系数 .对于
a
∈
0 ,+ ∞
n
,a 的
p
次加权幂平均为
M
p
w ,a
=
∑
n
i
=
1
w
i
a
i
1
p
,
p
≠
0
∏
n
i
=
1
a
w
i
i
,
p
=
0
特别 ,A w ,a
=
M
1
w ,a 、G w ,a
=
M
0
w ,a 和 H w ,a
=
M
-
1
w ,a 分别为 a 的加权算术平均 、加
权几何平均和加权调和平均 .当 w
1
=
w
2
=
…
=
w
n
=
1
n
时 ,M
p
w ,a 、A w ,a 、G w ,a 和 H w ,a 分
别记作 M
p
a 、A a 、G a 和 H a .又记
珨
M
p
a
=
M
p
a ,M
p
a ,… ,M
p
a ,同样定义
珡
A a 、
珚
G a 和
珨
H a .
通过对均值差的估计 ,加强或加细著名的算术
‐
几何
‐
调和平均值不等式
H w ,a
≤
G w ,a
≤
A w ,a (1)
是不等式理论研究的热点之一 .
设 0
<
m
<
M ,a
=
a
1
,a
2
,… ,a
n
∈
m ,M
n
.关于均值差 A (a) - G(a) 的上下界也有如下一些结
果 .文献[1] 有