扩展KMP算法：高效查找子串在模板串中的匹配长度

KMP：给出两个字符串A（称为模板串）和B（称为子串），长度分别为lenA和lenB，要求在线性时间内，对于每个A[i]（0<=i<lenA)，求出A[i]往前和B的前缀匹配的最大匹配长度，记为ex[i]（或者说，ex[i]为满足A[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值）。KMP的主要目的是求B是不是A的子串，以及若是，B在A中所有出现的位置（当ex[i]=lenB时）。
【算法】
设next[i]为满足B[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值（也就是B的自身匹配）。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出，要用它们来求ex[i]的值。
根据ex的定义，有A[i-1-ex[i-1]+1..i-1]==B[0..ex[i-1]-1]，这时，若有A[i]==B[ex[i-1]]，则可以直接得到ex[i]=ex[i-1]+1（因为i-1-ex[i-1]+1即i-ex[i-1]，现在由于A[i]==B[ex[i-1]]，可得A[i-ex[i-1]..i]==B[0..ex[i-1]]，即A[i-ex[i-1]+1-1..i]==B[0..ex[i-1]+1-1]，所以ex[i]=ex[i-1]+1）。若A[i]!=B[ex[i-1]]？
设j=next[ex[i-1]-1]，则根据next定义得B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1]==B[0..j-1]，又因为A[i-ex[i-1]..i-1]==B[0..ex[i-1]-1]得A[i-j..i-1]==B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1]，这样有A[i-j..i-1]==B[0..j-1]！也就是此时只需再比较A[i]与B[j]的值是否相等即可，若相等，可得ex[i]=j+1，若仍不相等，则更新j为next[j-1]，继续比较A[i]与B[j]是否相等……直到A[i]与B[j]相等或直到j==0时，A[i]仍不等于B[j]，此时ex[i]=0。边界：求ex[0]时，初始j（用来代替ex[i-1]）为0。
现在还有一个问题，如何求next？显然next就是以B自身为模板串，B为子串的“自身匹配”，用类似的办法即可，唯一不同的是next[0]=lenB可以直接得到，求next[1]时，初始j（代替next[i-1]）为0。
【核心代码】
    lenA = strlen(A); lenB = strlen(B);
    next[0] = lenB;
    int j = 0;
    re2(i, 1, lenB) {
        while (j && B[i] != B[j]) j = next[j - 1];
        if (B[i] == B[j]) j++;
        next[i] = j;
    }
    j = 0;
    re(i, lenA) {
        while (j && A[i] != B[j]) j = next[j - 1];
        if (A[i] == B[j]) j++;
        ex[i] = j;
    }
扩展KMP：给出模板串A和子串B，长度分别为lenA和lenB，要求在线性时间内，对于每个A[i]（0<=i<lenA)，求出A[i..lenA-1]与B的最长公共前缀长度，记为ex[i]（或者说，ex[i]为满足A[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值）。扩展KMP可以用来解决很多字符串问题，如求一个字符串的最长回文子串和最长重复子串。
【算法】
设next[i]为满足B[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值（也就是B的自身匹配）。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出，要用它们来求ex[i]的值。
设p为目前A串中匹配到的最远位置，k为让其匹配到最远位置的值（或者说，k是在0<=i0<i的所有i0值中，使i0+ex[i0]-1的值最大的一个，p为这个最大值，即k+ex[k]-1），显然，p之后的所有位都是未知的，也就是目前还无法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
根据ex的定义可得，A[k..p]==B[0..p-k]，因为i>k，所以又有A[i..p]==B[i-k..p-k]，设L=next[i-k]，则根据next的定义有B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]。考虑i-k+L-1与p-k的关系：
（1）i-k+L-1<p-k，即i+L<=p。这时，由A[i..p]==B[i-k..p-k]可以得到A[i..i+L-1]==B[i-k..i-k+L-1]，又因为B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]所以A[i..i+L-1]==B[0..L-1]，这就说明ex[i]>=L。又由于next的定义可得，A[i+L]必然不等于B[L]（否则A[i..i+L]==B[0..L]，因为i+L<=p，所以A[i..i+L]==B[i-k..i-k+L]，这样B[0..L]==B[i-k..i-k+L]，故next[i-k]的值应为L+1或更大），这样，可以直接得到ex[i]=L！
（2）i+k-L+1>=p-k，即i+L>p。这时，首先可以知道A[i..p]和B[0..p-i]是相等的（因为A[i..p]==B[i-k..p-k]，而i+k-L+1>=p-k，由B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]可得B[0..p-i]==B[i-k..p-k]，即A[i..p]==B[0..p-i]），然后，对于A[p+1]和B[p-i+1]是否相等，目前是不知道的（因为前面已经说过，p是目前A串中匹配到的最远位置，在p之后无法知道任何一位的匹配信息），因此，要从A[p+1]与B[p-i+1]开始往后继续匹配（设j为目前B的匹配位置的下标，一开始j=p-i+1，每次比较A[i+j]与B[j]是否相等，直到不相等或者越界为止，此时的j值就是ex[i]的值）。在这种情况下，p的值必然会得到延伸，因此更新k和p的值。
边界：ex[0]的值需要预先求出，然后将初始的k设为0，p设为ex[0]-1。
对于求next数组，也是“自身匹配”，类似KMP的方法处理即可。唯一的不同点也在边界上：可以直接知道next[0]=lenB，next[1]的值预先求出，然后初始k=1，p=ex[1]。