"本资源主要介绍了快速傅里叶变换(FFT)算法,特别是顺序I起始及终止序号为1~6的基-2FFT算法。该算法由Cooley和Tukey在1965年提出,能显著减少复数乘法和加法的运算次数,适用于计算N点离散傅里叶变换(DFT)。"
在数字信号处理领域,快速傅里叶变换(FFT)是一种高效的计算离散傅里叶变换(DFT)和其逆变换的算法。N点DFT的直接计算通常需要进行N²次复数乘法和N(N-1)次复数加法,运算量相当大。FFT算法通过巧妙地分解DFT,利用DFT的对称性和周期性,将运算量大幅降低。
顺序I起始及终止序号为1~6,意味着在基-2FFT算法中,我们按照这个顺序对输入序列进行处理。倒序J起始序号为N/2,在这个例子中是4。该算法的核心是蝶形运算单元,它涉及到两个相邻指数的复数相乘,并结合它们的DFT值。当I小于J时,A(I)和A(J)的内容调换,形成倒序J。然后,输入序列会被重新按倒序排列,以便进行下一轮的运算。
基-2FFT算法的关键在于将N点DFT分解为两个N/2点的DFT,然后递归地应用相同的过程,直到子问题的大小为1,此时DFT可以直接计算。这种分解策略极大地减少了计算量,因为每个阶段只需要N次复数乘法和N次复数加法,而不是原始的N²次乘法。
算法流程图清晰地展示了这种分解过程,它包括一系列的蝶形运算,每个运算涉及复数乘以一个旋转因子W。旋转因子W具有N的周期性和对称性,这使得某些乘法可以简化或完全避免。例如,当k = N/2时,W_k = -1(对于实数序列),大大减少了计算量。
学习FFT算法,不仅要知道它的基本原理和运算流程,还要理解如何编程实现。编程思想通常涉及循环展开和数据重排,以进一步优化性能。通过掌握这些,可以有效地应用于信号分析、滤波、频谱分析等众多领域。
在本章的学习中,学生应该能够计算N点DFT的运算量,理解减少运算量的基本方法,并熟练掌握按时间抽取的基-2FFT算法。课后习题如P127的4.1、4.2、4.4和4.5旨在巩固这些概念和技能。
FFT算法是数字信号处理中的核心工具,其效率和灵活性使得大规模傅里叶变换变得可行。通过深入理解并应用FFT,工程师和研究人员可以解决各种复杂信号处理问题,从音频处理到图像分析,甚至在通信系统和物理科学中有广泛应用。