C++实现Wolfe-Powell优化算法详解

"Wolfe-Powell 最优化方法是一种用于求解无约束优化问题的算法，此程序使用 C++ 编写。程序的核心是通过迭代更新变量，寻找目标函数的最小值。Wolfe-Powell 条件是该算法中的关键部分，包括两个准则：Armijo 减少条件和 curvature 条件，确保搜索方向的有效性。" 在优化问题中，Wolfe-Powell 方法是一种常用的数值优化技术，旨在找到使目标函数最小化的变量值。这个 C++ 程序实现了一个二元（n=2）问题的解决过程，通过调整步长 λ 和搜索方向向量 sk，逐步接近最优解 xk1。 程序中的关键函数包括： 1. `fun(double x1, double x2)`: 计算目标函数的值，这里是一个二次函数加上其他项，形如 f(x1, x2) = 100 * x1^4 + x1^2 - 2 * x1 + 100 * x2^2 - x1^2 * x2 + 1。 2. `gradient(double x1, double x2, double g0[n])`: 计算梯度向量，即目标函数对每个变量的偏导数。在本例中，梯度为 [400 * x1^3 + 2 * x1 - 400 * x1 * x2 - 2, 200 * (x2 - x1^2)]。 3. `get_x(double lamda, double xk[n], double sk[n], double xk1[n])`: 更新变量值，xk1 = xk + λ * sk，其中 λ 是步长，sk 是搜索方向。 4. `key1(double f, double lamda, double g[n], double s[n])`: 检查 Armijo 减少条件，即新函数值 f 新必须比旧函数值 f 足够小，且减少的程度至少为 c1 * λ * gk * sk，其中 c1 是一个常数，gk 是当前梯度，s 是搜索方向。 5. `key2(double xk1[n], double xk[n], double s[n])`: 检查 curvature 条件，也称为沃尔夫条件，它检查新梯度 gk1 与旧梯度 gk 的点积与旧梯度 gk 与搜索方向 s 的点积之间的比例是否满足 c2（另一个常数），以确保搜索方向的适当曲率。 程序通过反复调用这些函数，检查 Wolfe-Powell 条件并更新变量，直至达到预设的收敛标准（如函数值改变小于 ε，如 `eps1e-6`）。这种方法既考虑了函数值的下降，又关注了搜索方向的曲率，从而在全局收敛性和局部速度之间找到了平衡。在实际应用中，可能会结合线性代数库（如 BLAS 或 LAPACK）来加速计算，以及采用自适应步长策略来提高效率。