自适应算法求解最优控制问题的弱间断解

"该文提出了一种针对最优控制问题中弱间断解的自适应算法，采用分段多项式逼近解，并在每个子区间内利用拟谱方法进行离散，特别是利用Chebyshev-Gauss-Lobatto点作为配置点。算法能够根据数值解的后验信息动态调整子区间划分和多项式阶数，从而提高精度和效率。" 最优控制问题是一个重要的数学模型，广泛应用于工程、经济和科学领域，用于寻找使某个性能指标达到最优的控制系统。在实际问题中，最优控制的解可能存在弱间断，即在某些特定点解不连续但极限存在。这种现象在物理系统或工程系统中是常见的，如火箭发射、飞机导航等。 该文提出的自适应算法专门针对这类问题，首先将时间区间划分为多个子区间，利用分段多项式对最优控制问题的解进行逼近。分段多项式方法允许在不同的子区间内采用不同的多项式模型，从而更好地适应解的局部特性。拟谱方法是一种高效数值方法，它将连续问题转化为离散问题，通过选择特定的节点（如Chebyshev-Gauss-Lobatto点）作为配置点，可以得到高度精确的离散解。 Chebyshev-Gauss-Lobatto点是数值分析中的关键点集，它们在[-1,1]区间内均匀分布，特别适合于处理边界条件，能够提供较高的离散精度。在该文中，这些点用于确定控制问题的离散位置，以精确捕捉可能存在的弱间断。 自适应算法的核心在于其动态性。它能根据计算结果的后验信息判断是否需要进一步细分子区间或者增加逼近多项式的阶数。如果发现现有细分不足以准确描述解的特征，尤其是当检测到可能存在弱间断时，算法会自动调整，以提高解的精度。这种方式既能避免不必要的计算量，也能确保解的高质量。 通过一系列数值实验，文章证明了所提出的自适应算法在处理具有弱间断解的最优控制问题时具有高精度和有效性。这种方法对于解决那些传统方法难以处理的复杂控制问题提供了新的思路，特别是在处理不连续或近似不连续的控制策略时，其优势尤为明显。 该研究为解决最优控制问题中的弱间断解提供了一种高效且自适应的数值方法，对于优化理论和计算数学领域具有重要的理论价值和实践意义。其自适应性和高精度特性使得该算法有望在未来的控制理论研究和工程应用中发挥重要作用。