自适应拟谱法解决弱间断最优控制问题：高效精度提升

本文主要探讨了一种针对弱间断最优控制问题的自适应拟谱方法。在解决这类问题时，传统的优化方法可能会遇到挑战，特别是当系统的控制和状态函数在时间域上存在弱间断时。为克服这一难点，研究者秦廷华提出了一种创新的策略。 首先，作者引入了一种特殊的点序列，这些点将时间区间划分为多个子区间。这种方法的关键在于选择恰当的子区间划分，以便捕捉到控制和状态函数的特性，特别是可能存在的弱间断点。通过对这些子区间进行精细的划分，可以确保数值解的精度，并在一定程度上避免了因间断导致的数值不稳定。 接着，文章采用了分段连续多项式逼近的方法，即在每个子区间内使用不同的多项式函数来近似控制和状态变量。这种逼近策略允许在连续区域和可能的间断点附近采用不同的函数形式，以提高拟合的灵活性。 在理论部分，作者基于数值解的收敛性原理，证明了分割出的点序列确实能够收敛到弱间断点。这就意味着，随着子区间数量的增加或者点序列的细化，我们能够更精确地定位到这些特殊点，这是解决弱间断问题的重要步骤。 为了进一步优化算法，作者利用了柯西收敛原理，通过分析点序列的变化趋势来估计弱间断点的位置。这种方法提供了一个动态的反馈机制，可以根据实际计算中的误差指示量（误差信号）调整子区间大小和多项式次数，从而达到自适应调整的目的。 在实际应用中，研究者通过对比与传统拟谱方法（如固定阶数的Legendre或Chebyshev多项式）的性能，展示了所提自适应拟谱方法在精度和效率上的优势。它能够在保持较高精度的同时，有效地处理间断性和非线性特性，使得计算过程更为高效。 这篇论文不仅提出了一个新颖的求解弱间断最优控制问题的方法，还提供了理论支持和实践验证，为优化控制领域的数值计算提供了一种有前景的工具。这对于实际工程问题，特别是在航空航天、电力系统等领域中的复杂系统优化具有重要意义。