Dijkstra算法详解与实现

"这篇文章主要介绍了Dijkstra算法，它是图论中的一个重要算法，常用于寻找有向图或无向图中最短路径。浙江大学研究生上机考试题中可能涉及到这个算法的实现。" Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻（Edsger W. Dijkstra）在1956年发明的，它是一种解决单源最短路径问题的有效算法。Dijkstra算法主要应用于找到从源节点到图中所有其他节点的最短路径。其核心思想是采用贪心策略，每次选取当前未访问节点中距离源节点最近的一个，并更新与其相邻节点的距离。 算法步骤如下： 1. 初始化：设置一个数组`dis`记录从源节点到各个节点的最短距离，初始时除源节点外所有节点的距离设为无穷大（通常用`INT_MAX`表示）。设置一个数组`visit`记录已访问过的节点，初始时所有节点标记为未访问。设置源节点的最短距离为0。 2. 主循环：选择一个未访问且距离源节点最近的节点（标记为`sta`），将其标记为已访问。然后遍历所有未访问的邻接节点，如果通过当前节点到达邻接节点的距离比之前记录的最短路径更短，则更新该邻接节点的最短距离。 3. 更新过程：对于邻接节点`j`，如果`map[sta][j]`不为0（表示存在边连接`sta`和`j`），则检查是否可以通过`sta`到达`j`的路径更短，如果是，则更新`dis[j]`。如果没有更短路径，则保持原值。 4. 找到新的最近未访问节点：在所有未访问节点中，选取当前最短距离最小的节点`mark`作为下一个处理节点，继续循环，直到所有节点都被访问或者没有更短的路径可选。 5. 结束条件：当无法找到更短路径的节点（即`m`为0或`INT_MAX`）时，算法结束，`dis`数组即包含了源节点到所有节点的最短路径。 提供的代码片段展示了Dijkstra算法的基本实现，包括初始化、主循环和节点状态更新的过程。`dis`数组存储距离，`map`数组表示图中节点间的边权重，`visit`数组记录访问状态。在每次循环中，都会找到未访问节点中距离源节点最近的节点，并更新其相邻节点的最短路径。这个过程会一直进行，直到所有节点都被访问过，或者无法找到更短路径为止。 Dijkstra算法的时间复杂度在最好的情况下是O(E+V)，其中E是边的数量，V是节点的数量，因为每次循环都只会处理一个未访问的节点。但在最坏的情况下，时间复杂度为O(V^2)，这通常发生在稠密图中，即每个节点与其他大部分节点都有连接。在稀疏图中，Dijkstra算法效率较高，适用于大量实际应用，如路由选择、网络流量分析等。然而，Dijkstra算法不适用于存在负权边的图，因为负权边可能导致算法计算出错误的最短路径。在这种情况下，可以考虑使用其他算法，如Bellman-Ford算法或SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）。