最小代价子母树的动态规划解法

"上机编程并调试本程序-最小代价子母树" 最小代价子母树问题是一个经典的动态规划问题，涉及到一系列的沙堆合并操作，目标是找到将多堆沙子归并为一堆的最低总代价。在这个问题中，每堆沙子都有特定的数量，每次归并相邻的两堆沙子时，代价是这两堆沙子数量的和。最终的目标是最小化所有归并操作的代价总和。 动态规划方法的核心在于通过解决子问题来构建原问题的解。对于最小代价子母树问题，我们可以自底向上地计算每个子问题的最优解，并存储这些解以供后续步骤使用。当堆的数量为n时，我们需要考虑所有可能的前n-1次归并操作，并选择使得总代价最小的那一个。 例如，当n=4时，有5种可能的归并策略。通过对每种策略的代价计算，我们可以发现第(b)种策略15+28+44=87具有最低的总代价。在实际编程中，我们可以使用二维数组来存储子问题的解，数组的元素表示的是归并到特定堆时的最小代价。 对于n=5的情况，我们可以利用已经求解出的n=4的最优解作为基础，以此类推，逐步增加堆的数量，每次都选择与当前堆合并代价最小的相邻堆。这种“记忆化”技术能够避免重复计算，提高效率。 当问题变为求最大代价子母树时，动态规划仍然适用。此时，我们不再是寻找最小的代价，而是最大化每次归并的代价。程序的修改主要集中在目标函数的定义上，即每次合并时选取代价最大的两堆进行合并。其余的动态规划框架基本保持不变。 手工画出动态规划算法将5堆沙子6、12、5、8、9归并的过程，可以帮助直观理解算法的运作。首先，列出所有可能的相邻堆合并，计算每次合并的代价，然后选择代价最大的那次合并，接着继续这个过程，直到所有的沙子归并为一堆。通过这种方式，我们可以找出最大代价子母树的最优解。 最小代价子母树问题展示了动态规划在解决组合优化问题中的强大能力。通过理解和实践，我们可以掌握动态规划的思想，不仅解决这个问题，还能应用于其他类似的问题，如背包问题、最长公共子序列等。