数值分析：方程求根的迭代法与二分法详解

"数值分析第二章 清华版" 在数值分析中，第二章主要讨论了方程求根的迭代法，特别是二分法。这一章深入探讨了如何找到一个函数方程的根，即使得函数值等于零的点。方程可以分为不同类别，例如当函数是一般连续函数时，我们称之为超越方程；当函数为多项式形式时，如x^n-a=0，我们称之为代数或多项式方程。 方程的根有不同的类型。如果一个多项式f(x)的n次方等于零，并且f'(x)不为零，那么f(x)=0的解被称为n重根。根据代数基本定理，一个n次多项式在复数域内有n个根，包括重根。对于n=1的情况，根可以通过公式直接求出，但当n大于1时，我们通常需要使用迭代法来求解。 二分法是求解连续函数在给定区间内根的一种经典方法。假设我们有一个连续函数f(x)，我们知道它在闭区间[a, b]上存在一个根，即f(a) * f(b) < 0。首先，我们取区间的中点c=(a+b)/2，然后检查f(c)的符号。如果f(c)=0，那么c就是我们要找的根；如果f(c)与f(a)的符号相反，我们则取[a, c]作为新的有根区间；反之，如果f(c)与f(b)的符号相反，我们取[c, b]作为新的区间。每进行一次二分，有根区间的长度都会减半。这个过程会不断重复，直到达到所需的精度。 例如，在求解方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根时，我们可以先找到一个包含根的区间，如[-3, 4]。在这个例子中，f(-3) * f(4) < 0，因此我们确定有根。通过二分法，我们可以逐步缩小区间，例如取中点c=0.5(-3+4)=0.5，检查f(0.5)的符号，然后根据符号改变区间，以此类推。每次迭代后，我们会得到一个新的区间，直到该区间的长度小于我们的精度要求，例如0.01。最后，区间的一个端点将成为方程的近似根，且可以通过误差估计公式来评估其精确度。 数值分析的第二章介绍了方程求根的基本概念，特别是对于连续函数的根的搜索策略，强调了二分法在解决这类问题中的重要作用。通过实际的示例和步骤，学习者可以掌握这种方法，并应用到其他类似的问题中。