离散线性系统辨识-最小二乘估计方法
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更新于2024-08-09
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"单输入单输出系统-altium_designer6.9经典教程"
本文主要讨论的是系统辨识领域的知识,特别是针对单输入单输出(SISO)系统的离散线性动态模型的最小二乘估计方法。在系统辨识中,目标是通过测量的输入和输出数据来确定系统的动态特性,即系统参数。这里,我们关注的是一个简单的SISO系统,其输入输出关系由差分方程描述。
在离散时间域中,该系统可以用以下差分方程表示:
\[ y(k) + \sum_{i=1}^{n}a_iy(k-i) = \sum_{i=1}^{n}b_iu(k-i) \]
其中,\( y(k) \) 和 \( u(k) \) 分别是系统在时间 \( k \) 的输出和输入,\( a_i \) 和 \( b_i \) 是待估计的系统参数,\( n \) 是系统阶数。然而,实际测量的数据会受到噪声和模型误差的影响,导致模型误差或残差 \( e(k) \) 存在。
为了进行最小二乘估计,我们可以构造输入输出数据的向量表示:
\[ \phi_T^k = [-y(n+k-1), ..., -y(k), u(n+k-1), ..., u(k)] \]
\[ \theta^T = [a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n] \]
从而将差分方程改写为向量形式:
\[ y(n+k) = \phi_T^{k-n}\theta + e(n+k) \]
最小二乘估计的目标是找到参数向量 \( \theta \),使得残差平方和 \( J \) 最小:
\[ J = \sum_{k=n+1}^{n+N} [y(k) - \phi_T^{k-n}\theta]^2 \]
这个最小化问题可以通过数值优化算法解决,例如梯度下降法或正规方程法。在实际应用中,这种方法常用于线性系统的参数辨识,帮助建立准确的数学模型,以便进行控制设计、预测或其他系统分析。
《系统建模与辨识》这本书进一步扩展了这一主题,不仅涵盖了线性系统的辨识,还涉及到多变量线性系统、非参数表示和辨识、非线性系统、时间序列建模、房室模型、神经网络模型、模糊系统以及遗传算法在辨识中的应用等。该书提供了具体的方法步骤和实例,旨在帮助读者理解和应用这些辨识技术。
这本书适合自动化、系统工程、经济管理和应用数学等专业的本科和研究生学习,同时也适用于相关领域的科研人员和技术人员参考。书中强调了实践操作,确保读者能够掌握这些工具并应用于实际问题中。
2012-07-07 上传
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龚伟(William)
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