离散线性系统辨识-最小二乘估计方法

"单输入单输出系统-altium_designer6.9经典教程" 本文主要讨论的是系统辨识领域的知识，特别是针对单输入单输出（SISO）系统的离散线性动态模型的最小二乘估计方法。在系统辨识中，目标是通过测量的输入和输出数据来确定系统的动态特性，即系统参数。这里，我们关注的是一个简单的SISO系统，其输入输出关系由差分方程描述。 在离散时间域中，该系统可以用以下差分方程表示： \[ y(k) + \sum_{i=1}^{n}a_iy(k-i) = \sum_{i=1}^{n}b_iu(k-i) \] 其中，\( y(k) \) 和 \( u(k) \) 分别是系统在时间 \( k \) 的输出和输入，\( a_i \) 和 \( b_i \) 是待估计的系统参数，\( n \) 是系统阶数。然而，实际测量的数据会受到噪声和模型误差的影响，导致模型误差或残差 \( e(k) \) 存在。 为了进行最小二乘估计，我们可以构造输入输出数据的向量表示： \[ \phi_T^k = [-y(n+k-1), ..., -y(k), u(n+k-1), ..., u(k)] \] \[ \theta^T = [a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n] \] 从而将差分方程改写为向量形式： \[ y(n+k) = \phi_T^{k-n}\theta + e(n+k) \] 最小二乘估计的目标是找到参数向量 \( \theta \)，使得残差平方和 \( J \) 最小： \[ J = \sum_{k=n+1}^{n+N} [y(k) - \phi_T^{k-n}\theta]^2 \] 这个最小化问题可以通过数值优化算法解决，例如梯度下降法或正规方程法。在实际应用中，这种方法常用于线性系统的参数辨识，帮助建立准确的数学模型，以便进行控制设计、预测或其他系统分析。 《系统建模与辨识》这本书进一步扩展了这一主题，不仅涵盖了线性系统的辨识，还涉及到多变量线性系统、非参数表示和辨识、非线性系统、时间序列建模、房室模型、神经网络模型、模糊系统以及遗传算法在辨识中的应用等。该书提供了具体的方法步骤和实例，旨在帮助读者理解和应用这些辨识技术。 这本书适合自动化、系统工程、经济管理和应用数学等专业的本科和研究生学习，同时也适用于相关领域的科研人员和技术人员参考。书中强调了实践操作，确保读者能够掌握这些工具并应用于实际问题中。