北交大运筹学通论：线性规划详解与图解方法

《北交大运筹学通论4》是一本详细介绍运筹学中线性规划理论的教材，作者王周宏教授来自北京交通大学理学院。本书共分为八章，涵盖了线性规划的核心概念和关键方法。 第1章至第2章主要介绍了线性规划的基本问题形式，以标准形式(minimize cTx subject to A1x = b1, A2x ≤ b2, l ≤ x ≤ u)呈现，其中c是目标函数系数向量，x是决策变量，A和b是约束矩阵和常数向量。线性规划问题的特点是目标函数和约束条件都是线性的，这决定了它是凸优化问题，具有全局最优解且最优解集为凸集，不存在局部最优但可能存在无解或无界的情况。 在二维问题的图解法中，作者强调了如何通过绘制可行域（由约束条件决定的多面集合）和目标函数的等值线(cTx = α)，理解目标函数的方向性。例如，当目标函数为-c1x1 - 3x2，并受制于x1 + x2 ≤ 6, -x1 + 2x2 ≤ 8以及非负约束时，增加方向d需满足c·d > 0，有助于直观地寻找最优解。 第3章到第5章深入探讨了单纯形方法，这是求解线性规划问题的重要算法。它基于迭代过程，每次通过在当前基可行解的基础上进行调整，直至达到最优解。最优性条件涉及到KKT条件，即拉格朗日乘数法，而对偶原理则揭示了原问题和对偶问题之间的互补性质，对偶单纯形法则是利用对偶问题简化求解过程。 第6章讨论了对偶变量在经济解释中的应用，这些变量在理解模型决策变量的含义以及优化过程中扮演着重要角色。对偶变量的存在有助于更全面地分析问题，并可能提供额外的信息。 第7章介绍了灵敏度分析，这是一种评估模型参数变化对决策和结果影响的方法，对于实际问题的稳健性和可靠性分析至关重要。 最后，第8章介绍了运筹学中常用的软件工具，如Matlab和Lindo，它们在实际问题求解和模拟中发挥着不可或缺的作用，帮助读者将理论知识转化为实践操作。 《北交大运筹学通论4》不仅覆盖了线性规划的理论基础，还提供了实际应用中的解决策略和工具选择，适合运筹学初学者和专业人士参考使用。