北交大运筹学通论：约束优化算法解析

"北交大运筹学通论5.pdf" 涉及的主要内容包括运筹学中的约束优化算法，特别是可行方法法、罚函数法以及SQP（Sequential Quadratic Programming）方法。 运筹学是一门应用数学学科，它使用优化技术来解决实际问题，尤其是在管理科学、工程和经济学等领域。在约束优化问题中，目标是找到一个解决方案，不仅使得目标函数最小化或最大化，而且必须满足一系列限制条件。 1. 可行方法法： 此方法主要针对线性约束优化问题。在定义5.1中，如果一个向量\( \bar{d} \)在可行点\( \bar{x} \)处可以使得\( \bar{x} + td \)保持在约束集\( S \)内对所有\( t \)在\[ 0, \delta \]区间内都有效，那么\( d \)被称为在\( \bar{x} \)处的可行方向。这意味着增加或减少\( x \)的值沿着\( d \)方向不会违反任何约束。对于非线性规划问题(5.1)，在点\( \bar{x} \)处，如果\( A_1\bar{x} = b_1 \)且\( A_2\bar{x} > b_2 \)，非零向量\( d \)是可行方向的充要条件是\( A_1d \geq 0 \)且\( Ed = 0 \)。 2. 罚函数法： 罚函数法是一种处理约束优化问题的策略，它通过在目标函数中添加一个惩罚项来避免解违反约束。当解不满足约束时，惩罚项会增大目标函数的值，从而鼓励解趋向于可行区域。这种方法允许初始的迭代在不可行区域内，随着迭代的进行，逐步逼近可行解。 3. SQP方法： SQP方法是解决非线性约束优化问题的一种有效方法，它通过序列二次规划来近似原问题。在每个迭代步骤中，非线性问题被近似为一个二次问题，该二次问题的约束是线性的，并且与原问题的约束一致。通过解决这个二次问题，我们可以得到下一个迭代点，然后重复此过程，直到满足停止准则。 这些方法在实际应用中具有重要意义，因为它们提供了解决复杂约束优化问题的有效工具。例如，Zoutendijk方法是可行方法法的一个变种，它在寻找下降方向时考虑了目标函数的梯度，确保所选方向既能降低目标函数值又满足约束。这样的算法设计有助于在满足约束的同时找到全局最优解。