C++实现FFT算法详解

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本文将介绍一个简洁的快速傅里叶变换(FFT)算法的C++实现,适合学习和理解FFT的基本原理。该算法基于离散傅里叶变换(DFT)的分治策略,即二分迭代法(DIT),用于处理长度为2^N (N=10, 16等)的序列。主要涉及到的知识点包括:FFT算法、位反转、复数运算以及分治策略。 FFT(快速傅里叶变换)是一种计算离散傅里叶变换(DFT)和其逆变换的有效方法。在信号处理、图像处理和数值计算等领域中有着广泛的应用。DFT将一个序列转换到频域,而FFT通过减少计算量使其成为可能。 在提供的代码中,首先定义了一个名为`RevBit`的函数,它的作用是进行位反转操作。位反转是FFT算法中关键步骤之一,它将输入序列按照位反转的顺序重新排列,以便于后续的蝶形运算。位反转通常通过一系列位移和按位与操作来实现,代码中使用了逐次位压缩的方法,将32位整数的位反转高效地进行了计算。 接着,`ditfft`函数实现了二分迭代法的FFT。这个函数接受两个复数数组参数,`TS`是原始输入序列,`FS`用于存储变换结果。首先计算了旋转因子`W`,这些因子是根据DFT公式中的复数指数项预先计算的,然后将输入序列按照位反转的顺序重排。接下来,通过多次的蝶形运算对序列进行分治处理,每次迭代将序列长度减半,直到每个子序列只剩一个元素。这个过程就是DIT的核心。 蝶形运算在`ditfft`函数的嵌套循环中进行,它利用旋转因子对序列中的对应元素进行复数乘法和相加,有效地完成了DFT的计算。在每次迭代中,处理不同大小的子序列,直到整个序列被完全处理,最终得到频域表示的结果。 这段C++代码提供了一个简单的、基于二分迭代法的FFT实现,适用于学习和理解FFT算法的工作原理。通过理解这段代码,读者可以深入掌握FFT如何将复杂的DFT运算转化为更高效的计算过程,从而在实际应用中提高计算效率。