C++实现FFT算法详解

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本文将介绍一个简洁的快速傅里叶变换(FFT)算法的C++实现，适合学习和理解FFT的基本原理。该算法基于离散傅里叶变换(DFT)的分治策略，即二分迭代法(DIT)，用于处理长度为2^N (N=10, 16等)的序列。主要涉及到的知识点包括：FFT算法、位反转、复数运算以及分治策略。 FFT（快速傅里叶变换）是一种计算离散傅里叶变换(DFT)和其逆变换的有效方法。在信号处理、图像处理和数值计算等领域中有着广泛的应用。DFT将一个序列转换到频域，而FFT通过减少计算量使其成为可能。在提供的代码中，首先定义了一个名为`RevBit`的函数，它的作用是进行位反转操作。位反转是FFT算法中关键步骤之一，它将输入序列按照位反转的顺序重新排列，以便于后续的蝶形运算。位反转通常通过一系列位移和按位与操作来实现，代码中使用了逐次位压缩的方法，将32位整数的位反转高效地进行了计算。接着，`ditfft`函数实现了二分迭代法的FFT。这个函数接受两个复数数组参数，`TS`是原始输入序列，`FS`用于存储变换结果。首先计算了旋转因子`W`，这些因子是根据DFT公式中的复数指数项预先计算的，然后将输入序列按照位反转的顺序重排。接下来，通过多次的蝶形运算对序列进行分治处理，每次迭代将序列长度减半，直到每个子序列只剩一个元素。这个过程就是DIT的核心。蝶形运算在`ditfft`函数的嵌套循环中进行，它利用旋转因子对序列中的对应元素进行复数乘法和相加，有效地完成了DFT的计算。在每次迭代中，处理不同大小的子序列，直到整个序列被完全处理，最终得到频域表示的结果。这段C++代码提供了一个简单的、基于二分迭代法的FFT实现，适用于学习和理解FFT算法的工作原理。通过理解这段代码，读者可以深入掌握FFT如何将复杂的DFT运算转化为更高效的计算过程，从而在实际应用中提高计算效率。

要求：编制任意2的整数次幂点数的基-2 DIT-FFT和DIF-FFT 通用C/C++程序，验证其正确性，并与直接计算DFT比较点数2^N(其中N=10,....16)时运行时间的差异。
#include<iostream>
#include<fstream>
#include<complex>
#include<time.h>
#include<math.h>
#define pi 3.14159
typedef unsigned int UINT;
using namespace std;
UINT RevBit( UINT n, int r ) //比特倒序函数
{
UINT temp = n;
temp = ( temp & 0x55555555 ) << 1 | ( temp & 0xAAAAAAAA ) >> 1;
temp = ( temp & 0x33333333 ) << 2 | ( temp & 0xCCCCCCCC ) >> 2;
temp = ( temp & 0x0F0F0F0F ) << 4 | ( temp & 0xF0F0F0F0 ) >> 4;
temp = ( temp & 0x00FF00FF ) << 8 | ( temp & 0xFF00FF00 ) >> 8;
temp = ( temp & 0x0000FFFF ) << 16 | ( temp & 0xFFFF0000 ) >> 16;
temp = temp >> ( 32 - r );
return temp;
}
bool ditfft( complex<double> *TS, complex<double> *FS, int r )
{//时间抽取算法,TS为时间序列，FS为频率序列，序列长度为N = 2^r
int i,j,k;
int N = 1 << r; //N = 2^r
double alpha; //旋转因子的相位角
complex<double> *W; //旋转因子
W = new complex<double>[N/2];
for( i = 0; i < N/2; i++ ) //计算旋转因子
{
alpha = -i*2*pi/N;

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