EM算法实例：ABO血型等位基因概率估计及幼儿园糖果问题

本资源主要探讨了如何运用EM算法（Expectation-Maximization，隐马尔可夫算法）解决实际问题，特别是在遗传学背景下，具体应用到ABO血型等位基因概率的估计。ABO血型系统有三个等位基因A、B和O，其基因型与表现型之间存在一定的对应关系。通过设定变量如A基因人数（记为aa），A型血人数（记为A），利用实际的数据，包括不同基因型的人数，但某些参数（如基因频率）是未知的。 问题的核心在于利用EM算法估计等位基因A、B、O的概率。EM算法是一种迭代优化方法，特别适用于参数估计，当数据中存在缺失值或隐含信息时，通过期望（E-step）和最大化（M-step）两个步骤不断更新模型参数，直到收敛。在这个案例中，由于只知道部分个体的表现型和基因型，以及部分组合的信息（如a+b=h），我们需要通过以下步骤进行估计： 1. **极大似然估计**（MLE）：首先，使用已知数据来计算极大似然估计，如幼儿园糖果分配问题中的miu估计，通过多项分布的概率公式找到参数的最优值。 2. **问题引入**：引入更复杂的情境，即除了部分个体的具体数值外，还涉及到未知参数miu和部分个体的组合信息（如a+b=h）。这时，直接应用MLE会受限，因为miu的估计依赖于a和b的值，而a和b又需要miu才能计算。 3. **EM算法应用**：为了克服这种两难，EM算法引入，采用迭代策略。初始时，选择一个随机的miu值，然后计算c和d的值，再用这些值来更新a和b的估计。这个过程反复进行，直至参数不再显著改变，达到收敛。 4. **R软件实现**：给出了R语言的代码片段，展示了如何在R环境中进行EM算法的模拟，比如设定初始条件（miu和b的随机值）、迭代循环，并通过while循环持续更新直到达到停止条件。 通过这个案例，学习者可以理解EM算法如何处理复杂的不确定性问题，如何通过迭代估计未知参数，尤其是在遗传学或其他领域中，当数据不完全且存在隐性因素时，EM算法提供了一种强大的工具。