n阶拟群的共轭计数研究

"本文主要探讨了带共轭性质的拟群计数问题，作者沈幸炜和徐允庆研究了n阶拟群中具有不同共轭数的情况，特别是共轭数为2和6的情况。文章介绍了拟群的概念及其在序列密码设计中的应用，并提供了关于不同阶数拟群数量的统计数据。此外，还提到了一些基于拟群的加密算法实例，如All-Or-Nothing模式和ElGamal公钥密码系统的结合。" 正文: 拟群是一种数学结构，它在群论的基础上放宽了逆元的条件，即对于任意元素a和b，方程a⊗x=b和y⊗a=b在拟群中总有一解，但这个解可能不是唯一的。拟群的概念在密码学中有着重要的应用，特别是在序列密码系统的设计中，因其特性如马尔可夫链、等概率分布和有限错误传播等。 本文关注的是拟群的共轭性质，即对于拟群(Q,⊗)，可以定义6种不同的共轭运算。这些共轭运算不一定彼此不同，它们的个数可以是1、2、3或6。用q(n,t)表示阶数为n且共轭数为t的拟群的数量。文章着重研究了q(n,2)和q(n,6)的具体计数问题，这意味着作者将探讨阶数为n的拟群中，有多少种情况是恰好有两个非同构的共轭拟群，以及有多少种情况是六个共轭拟群全部不同的。 拟群在密码学中的应用主要体现在它们能提供丰富的密钥空间和良好的安全性。例如，Hassinen和Markovski使用拟群构建了手机短信加密系统，而Gligoroski则结合了拟群和ElGamal公钥密码算法设计了一种序列密码系统。此外，All-Or-Nothing模式的序列密码和进入欧洲序列密码计划的Edon80算法也体现了拟群在密码学中的重要地位。 文章通过引言介绍了拟群的基本概念和性质，接着详细阐述了共轭拟群的定义和计数方法，然后给出了相关计算结果和分析。作者通过具体的例子和已知的拟群数量数据，展示了拟群理论在实际密码系统设计中的可行性与优势。 总结来说，"带共轭性质拟群的计数"这篇论文深入研究了拟群的共轭性质，为理解拟群结构提供了新的视角，同时强调了这一理论在密码学中的应用价值，尤其是对于密码系统设计的安全性和效率的提升。通过对共轭数为2和6的拟群进行计数，作者为该领域的理论研究和实际应用提供了有价值的参考。