整体平均与局部平均：Gabor变换与信号分解在现代信号处理中的应用

整体平均与局部平均是现代信号处理中的两个重要概念，特别是在Gabor变换和信号分解中起着关键作用。时频分析作为信号处理的核心内容，关注的是信号在时间和频率域上的行为，它分为线性表示（如线性时频变换）和非线性表示（如时频分布）两种类型。 线性时频表示通常通过联合函数，如短时傅立叶变换（STFT），来展示信号频率成分随时间的变化，这种表示方式保持了线性叠加原理，适用于平稳信号。然而，非平稳信号的时频表示，即信号的时频分布，是对信号能量密度随时间和频率变化的量化，是非线性的，因为它不遵循线性叠加原则。时频分布具有四个基本性质：实值非负性（保证能量密度的合理性）、边缘特性（反映信号的瞬间状态）、能量特性（体现功率和能量的关系）、以及整体平均与局部平均的概念。 整体平均是指计算从时频分布P(t,ω)中获取的关于时间和频率的一般函数g(t,ω)的平均值，而局部平均则更侧重于特定时间点的频率密度或特定频率点的时间密度。这两个概念有助于理解信号在不同时间和频率尺度下的行为。 在分析时频分布时，还需要考虑时频变换的性质，如弱有限支撑性（信号在有限时间段内有定义）和强有限支撑性（不仅时间有限，频率也有限），以及它们对信号分析的影响。平移不变性，即时移不变性和频移不变性，是信号处理的重要特性，确保变换后的结果与原始信号的结构保持一致。 此外，线性尺度变换，如Gabor变换，可能会引入交叉项，随着信号分量增多，这些交叉项会增加复杂性。二次叠加原理则是时频分布期望具备的数学特性，包括谱图的能量守恒、线性短时傅立叶变换的二次型性质、以及频率和时间的移动特性。 短时傅立叶变换（STFT）与谱图分析紧密相连，但谱图通常不具备真正的边缘特性，因为窗函数的影响导致了有限支撑性的缺失。最后，整体平均是通过谱图计算得出的时间和频率上的平均信息，这是信号处理中用于提取重要特征和理解信号动态的重要工具。 总结来说，整体平均与局部平均是现代信号处理中理解非平稳信号时频行为的关键手段，它们与Gabor变换和信号分解一起，构成了信号分析的重要组成部分，帮助我们深入探究信号的时间-频率特性。