共形场理论中的真空衰减与黎曼-希尔伯特问题探索
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更新于2024-07-16
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"Vacuum Decay in CFT and the Riemann-Hilbert Problem"
这篇由Guilherme L. Pimentel、Alexander M. Polyakov和Grigory M. Tarnopolsky共同撰写的论文深入探讨了1+1维共形场理论(CFT)中的真空稳定性问题。他们特别关注了在存在外部背景场的情况下，真空如何可能衰变，并揭示了这个过程与黎曼-希尔伯特(Riemann-Hilbert)问题的关联。
在量子场论中，真空稳定性是一个至关重要的概念，因为一个稳定的真空状态是整个理论的基础。在这个研究中，作者证明真空衰变率是通过一个非局部的二维形式来描述的，这是一个边界项，需要被添加到有效的拉格朗日输入/输出中。这一发现对理解和计算真空衰变速率提供了新的视角。
黎曼-希尔伯特分解是一种解析延拓方法，常用于解决复分析中的问题。在这里，它被应用到背景规范场中，揭示了真空衰变过程中的非局域特性。在引力背景下，这种分解有了一个新颖的“功能性”形式，这表明真空衰变不仅与规范场有关，还与引力相互作用密切相连。
论文中，作者详细讨论了真空衰变的数学框架，特别是在CFT的上下文中。他们使用了Riemann-Hilbert问题来分析背景场对真空稳定性的影响。通过这种方式，他们能够量化衰变速率，这是理解和预测物理现象的关键。
此外，论文强调了这个问题的开放访问性质，意味着所有感兴趣的研究人员都可以免费获取并研究这些成果，这对于促进科学交流和进步至关重要。该研究由SCOAP3资助，体现了对高能物理学领域开放获取出版的支持。
1. 引言
文章开头，作者介绍了真空稳定性研究的重要性，并指出在1+1维CFT中，外部背景场的存在会引入新的复杂性，这些复杂性可能导致真空状态的不稳定性。他们进一步阐述了使用Riemann-Hilbert方法来处理这些问题的动机和方法。
2. 方法与理论框架
这部分详细介绍了黎曼-希尔伯特问题的数学背景，以及如何将它应用于规范场和引力场的分析。作者还阐述了如何从这个数学工具中推导出真空衰变率的非局部表达式。
3. 结果与分析
在这部分，作者展示了他们的主要发现，即真空衰变率与边界项的非局部二维形式的关联，以及这种形式如何通过背景场的黎曼-希尔伯特分解来表达。此外，他们还可能讨论了引力背景下的特殊情况。
4. 讨论与结论
论文的最后部分总结了研究成果，并讨论了这些发现对理解量子场论，特别是CFT中的真空稳定性的影响。他们可能还讨论了未来研究的方向和潜在的应用。
5. 参考文献
作者引用的相关文献列表，这些文献为他们的研究提供了理论基础和技术支持。
这篇论文对CFT中的真空稳定性给出了深刻洞察，提出了新的计算和理解真空衰变率的方法，为量子场论的进一步研究提供了宝贵的理论工具。
620 G.L. Pimentel et al. / Nuclear Physics B 907 (2016) 617–632
for real x
−
. This decomposition of the function ω(x
−
) is called the scalar Riemann–Hilbert
problem and the explicit solution in this case is given by
ω
up/down
(x
−
) =
1
2πi
+∞
−∞
ω(y
−
)dy
−
y
−
−x
−
∓iε
. (2.9)
In terms of ω
up/down
, the imaginary part of the effective action can be written as
Im W
+
(A
+
) = Im
+∞
−∞
dx
−
ω
down
∂
−
ω
up
. (2.10)
The generalization of the formula (2.10) for the strong non-Abelian and gravitational cases is the
main goal of this paper.
There is yet another wa
y of obtaining (2.10), which will be useful below. We can parametrize
A
+
as
A
+
(x
+
,x
−
) = ∂
+
φ(x
+
,x
−
) (2.11)
and we notice that the “Wilson line” φ(x
+
, x
−
) has residual gauge invariance φ → φ +
u(x
−
). We say that φ = φ
R
(x
+
, x
−
) is in retarded gauge if it obeys the boundary condition
φ
R
(−∞, x
−
) → 0 and therefore
φ
R
(x
+
,x
−
) =
x
+
−∞
A
+
(y
+
,x
−
)dy
+
. (2.12)
We see that φ
R
is manifestly real and causal, as φ
R
(x
+
, x
−
) only depends on A
+
(y
+
, x
−
) for
y
+
<x
+
; moreover, φ
R
(+∞, x
−
) = ω(x
−
), so the imaginary part of the effective action (2.10)
is written in terms of the boundary value of φ
R
and the whole W
+
(A
+
) reads
W
+
(A
+
) =
d
2
x∂
+
φ
R
∂
−
φ
R
+
+∞
−∞
dx
−
ω
down
∂
−
ω
up
. (2.13)
We can use the solution of the Riemann–Hilbert problem (2.8) and the residual gauge invariance
of φ to define a spectral (or Feynman) gauge, namely
φ
S
(x
+
,x
−
) ≡ φ
R
(x
+
,x
−
) −ω
down
(x
−
) →
ω
up
(x
−
), x
+
→+∞
−ω
down
(x
−
), x
+
→−∞
. (2.14)
In the spectral gauge the effective action (2.13) reads
W
+
(A
+
) =
d
2
x∂
+
φ
S
∂
−
φ
S
, (2.15)
and has the form of the usual result [13]. In our case, the difference is that the function φ
S
is
complex valued and (2.15) contains both real and imaginary parts of the effective action! The
conclusion is that in the spectral gauge, we do not require boundary terms in the effective action,
whereas in the retarded gauge, we have boundary terms, which are complex and account for the
vacuum decay.
The logic is summarized as follo
ws. If we use the spectral gauge, then the expressions for the
effective actions are well known [4,13,14], as the boundary terms evaluate to zero. Then passing
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