计算方法期末试题详解：填空、选择与计算

"这是一份计算方法期末考试的复习资料，包含了填空题、选择题、计算题和问答题等多种题型，旨在帮助学生备考。题目涵盖了多项式插值、迭代法、线性方程组解法、误差分析等多个计算方法的核心知识点。" 1. 填空题： - 第1题涉及的是一个特定数学表达式的计算，可能考察的是基本运算或特定公式应用。 - 第2题关于差商，差商是函数在某一点的局部变化率，与导数密切相关。 - 第3题提到的迭代公式的收敛条件，通常涉及到矩阵理论中的特征值和特征向量，或者是根的判定定理。 - 第4题询问线性方程组的最小二乘解，这是线性代数中的一个概念，用于处理无法精确解出的情况，解是一组使得残差平方和最小的解。 - 第5题讨论插值基函数，可能是关于拉格朗日插值或牛顿插值的内容。 2. 选择题： - 第1题涉及有效数字的概念，考察数字精度。 - 第2题是关于误差类型的区分，这里提到了舍入误差。 - 第3题讨论简单迭代法求解方程根的问题，可能需要理解迭代法的基本原理和根的几何意义。 - 第4题与抛物线插值有关，系数计算涉及多项式代数。 - 第5题是牛顿迭代法的应用，用于求解函数的零点。 3. 计算题： - 第1题要求写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，并讨论其收敛性，这两者是求解线性方程组的经典迭代方法。 - 第2题通过LU分解求解方程组，LU分解是矩阵分析中的重要工具，可以简化矩阵运算。 - 第3题列主元消去法是高斯消元法的一种变体，用于避免计算大系数导致的数值稳定性问题。 - 第4题涉及Newton三次插值，需要构建并求解插值多项式。 - 第5题是求积分的题目，可能需要构造适当的求积公式以提高代数精度。 - 第6题是关于埃尔米特插值的，需要用到 Hermite 插值多项式，它不仅考虑函数值还考虑了导数值。 4. 问答题： - 第1题询问如何选择迭代格式中的参数以确保局部收敛性，这涉及到迭代法的收敛性分析。 - 第2题讨论的是数值精度和有效数字的关系，求解所需的有效数字数量以达到特定的相对误差要求。 这些题目覆盖了计算方法的多个核心主题，包括数值分析中的迭代法、插值、线性代数和误差分析，对于理解和掌握计算方法的理论与实践都很有帮助。