2017年中国科学技术大学计算方法期末考试试题与解答

"这是一份2017年中国科学技术大学计算方法课程的期末考试A卷，包含了填空题、解答题等内容，涉及矩阵运算、特征值计算、Lagrange插值、数值积分、差商表以及最小二乘法拟合等计算方法知识点。" 这份试卷主要测试了以下几个方面的计算方法知识： 1. **有效数字与近似值**：题目要求写出一个数的五位有效数字的近似值，这是数值计算中基础的概念，有效数字是指从第一个非零数字到末尾所有数字的个数，近似值则需要在保持精度的同时简化数字表示。 2. **矩阵运算**：涉及矩阵的范数计算，如矩阵的 Frobenius 范数和谱半径，这些都是线性代数中的重要概念，用于衡量矩阵的大小和性质。计算矩阵的最大模特征值和最小模特征值分别对应于幂法和反幂法，实对称矩阵的全部特征值则通常通过 Jacobi 方法求解。 3. **Lagrange 插值**：Lagrange 插值是一种多项式插值方法，通过给定的互异节点构建插值多项式，题目中要求根据节点计算特定形式的插值基函数，这是数值分析中的经典问题。 4. **插值余项**：构建插值多项式时，余项表达了实际函数与插值多项式之间的误差，题目给出了利用导数信息构造插值余项的例子，这对于理解插值的误差分析至关重要。 5. **数值积分的代数精度**：n个节点的数值积分公式能够达到的最高精度是2n-1阶，这是基于高斯积分或其他数值积分方法的理论保证。 6. **差商表**：差商是数值微分的基础，题目展示了不同阶的差商计算，用于逼近函数的导数，是数值分析中求解微分方程的重要工具。 7. **最小二乘法**：通过对一组数据进行最小二乘拟合，求得经验公式，这里涉及线性回归模型，解出系数a和b，以ln(y)作为因变量，x作为自变量，构建线性模型并求解。 这些知识点反映了计算方法课程的核心内容，包括矩阵理论、插值与拟合、数值积分和微分，是理解和应用数值计算方法的基础。