数据结构与算法:清华大学912-2018年真题解析
"清华大学计算机科学系912考试2018年的部分真题,包含判断题、选择题和两道算法题目,涉及数据结构、算法分析和计算理论等内容。" 1. **判断题** - (1) 该题讨论了函数T(n)的复杂度,如果T(n)=T(n/2)+O(1),则T(n)=O(logn)。这是正确的,因为这样的递归关系符合对数时间复杂度的增长规律。 - (2) 折半查找与顺序查找:对于有序列表,折半查找的平均和最坏情况下的时间复杂度都是O(logn),而顺序查找最坏情况下是O(n)。因此,折半查找效率总是高于顺序查找。 - (3) KMP算法:即使不优化next[]数组,KMP算法的时间复杂度仍然是O(n),不是线性时间,但可以做到线性空间复杂度。 - (4) 二叉伸展树:对于理想随机的访问序列,二叉伸展树能保证均摊时间复杂度为O(logn),这是正确的,它是一种自平衡的数据结构。 - (5) 完全二叉堆的插入:错误,完全二叉堆插入操作通常需要O(logn)的时间复杂度,因为需要维护堆的性质。 2. **选择题** - (1) 就地算法:T(n)=O(1)意味着算法的空间复杂度为常数,不随输入大小n变化,这通常是就地算法的特性。 - (2) 逆波兰表达式的计算:根据2017的值,可以推断?处的运算符为乘号,因为0! * 1 + 2 * 3! * 4 + 5 * 6! * 7 * 8 = 2017。 - (3) 好后缀问题:对于长度为m的串,gs[0]=0表示整个串是好后缀,概率为1/(2m-1)。 - (4) 左式堆的顶点数量:一个右侧路径长度为k的左式堆至少有2k+1-1个顶点。 - (5) AVL树的构造:对于长度为n的序列,"存在正整数k,使n=2k-1"是两次构造的AVL树相同的必要不充分条件,因为相同的AVL树结构不一定需要n满足特定的奇偶性。 - (6) B树查找:一个7阶B树,最多进行6次I/O操作,因为高度不超过7,根节点常驻内存。 3. **单峰向量** - 题目要求设计一个能在O(logn)时间内找到最大值位置k的算法,可以考虑二分查找法结合单调栈或单调队列的方法。 - 算法的正确性可以通过数学归纳和边界条件来证明。 - 最坏情况下,由于单峰向量的特性,算法复杂度不会超过O(logn),因为每次比较都能有效地缩小搜索范围。 4. **最大子序列和** - 求解最大子序列和问题,可以使用 Kadane's algorithm:遍历数组,记录当前最大子序列和以及全局最大子序列和。时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。 - 伪代码描述如下: ``` max_sum = arr[0] global_max = arr[0] for i in range(1, n): max_sum = max(arr[i], max_sum + arr[i]) global_max = max(global_max, max_sum) return global_max ``` - 分析:Kadane's算法在每一步都只更新局部和与全局和,因此空间复杂度为常数,时间复杂度为线性,满足题目要求。 5. **组成原理** - (1) CPU主频:CPU的主频越高,执行指令的速度越快,但这并不意味着程序执行的绝对速度更快,还要考虑内存访问、I/O操作等因素。 以上是给定文件中涉及的主要知识点,涵盖了数据结构中的堆、字符串匹配、平衡树、B树、动态规划算法等概念,以及计算机组成原理中的CPU主频和内存访问。这些知识点是计算机科学的基础,对于理解和解决实际问题至关重要。
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