哈工大模式识别SVM讲义：支持向量机学习解析

"哈工大模式识别SVM讲义提供了关于支持向量机(SVM)的学习内容，适合哈工大模式识别研究生课程的学习者。" 支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种监督学习模型，尤其适用于分类和回归分析。在SVM中，数据被映射到高维空间，以便找到一个最优的超平面，该超平面能最大化不同类别之间的间隔。 在第5章补充材料中，讨论了线性可分情况下的SVM。当训练样本集D可以被一个超平面完美分割时，最优分类超平面需要满足以下条件： 1. 所有样本都应被正确分类，即对于每个样本点 \( x_i \)，其对应的类别标识 \( z_i \) 应满足 \( z_i(w \cdot x_i + b) > 0 \)。这里 \( w \) 是权重向量，\( b \) 是偏置项，\( \cdot \) 表示内积运算。 2. 为了确保分类间隔最大化，可以调整权重向量 \( w \) 和偏置项 \( b \)，使得最近的样本点到超平面的函数间隔 \( b \) 至少为1。这可以通过将 \( w \) 和 \( b \) 同时乘以一个正数来实现，而不会改变超平面的位置。 基于以上条件，SVM的优化目标是寻找一个使得几何间隔最大的超平面。几何间隔 \( \gamma \) 定义为 \( \frac{1}{||w||} \)，因此目标是最大化 \( ||w|| \) 的倒数。这可以转化为求解以下优化问题的原始形式： \[ \min_w \frac{1}{2} ||w||^2 \] \[ \text{subject to: } z_i(w \cdot x_i + b) \geq 1, \quad i=1,2,\ldots,n \] 这是一个具有线性不等式约束的二次优化问题，通常称为Hard Margin SVM。 在实际应用中，由于训练数据可能不是完全线性可分的，SVM会引入软间隔（Soft Margin）的概念，允许一些样本点违反约束，但通过惩罚项控制违反的程度。此外，为了简化计算，SVM通常会转换为等价的对偶问题，它涉及到拉格朗日乘子和核函数，这使得非线性分类成为可能。 哈工大的讲义还提到了min-max和max-min问题，这是在处理优化问题时经常遇到的概念。它们是解决最优化问题时的关键工具，尤其是用于凸优化问题，如SVM的对偶问题解决过程中。 SVM的核心思想是寻找最优分类边界，最大化样本点与超平面之间的间隔，同时考虑数据的非线性特性。通过对原始问题进行转换和求解对偶问题，SVM能够有效地处理各种复杂的分类任务。在哈工大的模式识别课程中，深入理解这些概念对于掌握和支持向量机的应用至关重要。