算法设计与分析基础习题详解与解法

算法设计与分析基础习题参考答案（第二版）提供了一系列关于算法设计和基本概念的习题解答，涵盖的知识点丰富多样。以下是部分内容的详细解析： 1. **等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)**: 这个题目考察的是整数的最大公约数（GCD）性质。通过除法原理，证明当对任意两个正整数m和n，它们的最大公约数等于n和m除以n后的余数m mod n（即r=m-qn）的最大公约数。关键在于理解整除的传递性和结合性，即如果d能整除u和v，则d也一定能整除它们的和或差，以及u的倍数。由于两个数对(m,n)和(n,r)的公约数集合相同，包含最大公约数，所以gcd(m,n)=gcd(n,r)。 2. **欧几里得算法处理小数的情况**: 当第一个数m小于第二个数n时，欧几里得算法会先交换m和n，使n成为新的较小数。这个过程仅会在首次迭代时发生，确保算法按照预期递归地找到最大公约数，直到两数相等，此时结果即为最大公约数。 3. **欧几里得算法中的除法次数**: a. 对于所有1≤m,n≤10的输入，最少需要做1次除法，因为初始情况下，只需执行一次除法操作后，较小数就会被较大数整除，进入下一个循环。 b. 最多需要做5次除法，这是因为最大的两个数为10，每次迭代至少减小一个数，直到其中一个为0。 4. **实系数二次方程求根算法**: 该算法Quadratic(a,b,c)用于求解二次方程ax^2+bx+c=0的实根。首先检查a是否为0，然后根据判别式D=b^2-4ac的值决定下一步操作：若D>0，有两个不同的实根；D=0，有一个重根；D<0，无实根。在有实根的情况下，算法计算并返回根。 5. **十进制转二进制算法**: a. 文字描述：将十进制整数除以2，取余数并记录，重复此过程直到商为0。最后，从下往上读取记录的余数组成的二进制数。 b. 伪代码描述：输入正整数n，循环执行以下步骤：取n除以2的余数，将余数添加到结果字符串开头，然后更新n为商。当n变为0时，停止循环，返回二进制表示的字符串。 这些习题不仅涵盖了基本的算法理论（如欧几里得算法和GCD），还涉及实数域上的数值计算（二次方程求根）以及数值表示（十进制转二进制）。这些知识点在计算机科学特别是算法设计与分析领域中至关重要，是理解和实践编程基础的关键内容。