算法设计与分析基础第二版课后习题详解

《算法设计与分析基础 第二版》是一本专注于介绍算法设计原理、方法和分析技巧的经典教材。本书的重要知识点在于第1章中的习题1.1，它涉及到素数理论中的基本概念——最大公约数(gcd)。题目要求证明gcd(m,n)等于gcd(n,m mod n)对于任意正整数m和n都成立。 首先，证明的关键在于理解除法的性质：如果一个数d能够整除两个数u和v，那么d也一定可以整除它们的和或差，以及u的任意整数倍。这表明，如果d能同时整除m和n，那么它同样可以整除n和m模n，即r=m mod n。 题目要求我们考虑两个数对(m,n)和(n,r)，它们的公约数集合是相同的，并且这个集合包含了它们的最大公约数。因此，我们可以得出结论，无论m和n初始大小关系如何，通过不断应用gcd(n,m mod n)的性质，最终都能得到gcd(m,n)。这意味着欧几里得算法（Euclid's Algorithm）在处理m小于n的情况时，会在第一次迭代时交换这两个数，使它们达到相同的形式，从而确保算法的正确性。 在处理这种输入对的过程中，由于每次迭代都会将较大的数替换为较小数与余数，这种情况最多只会发生一次交换，即在第一次迭代时。这确保了算法的效率，因为后续迭代将针对较小的数进行，直到找到最大公约数。 总结来说，《算法设计与分析基础 第二版》中的这部分内容强调了欧几里得算法的核心思想，即利用除法的性质简化问题，以及在特定情境下算法执行的步骤和优化。这对于理解基础的数论和算法设计至关重要，特别是在处理计算最大公约数这类基础但重要的数学问题时。