统计决策理论：贝叶斯分类与不相关性独立性的关系

"不相关性等价于独立性 - 西电模式识别课件 & 贝叶斯决策理论" 在数理统计中，不相关性和独立性是两个重要的概念，但它们并不完全相同。不相关性指的是两个随机变量的乘积期望等于各自期望的乘积，即 \( E\{x_ix_j\} = E\{x_i\} \cdot E\{x_j\} \)。而独立性则涉及到联合概率分布，当两个随机变量 \( x_i \) 和 \( x_j \) 独立时，它们的联合概率分布等于各自概率分布的乘积，即 \( p\{x_i, x_j\} = p\{x_i\} \cdot p\{x_j\} \)。值得注意的是，对于一般的随机变量，不相关并不意味着独立。但在多维正态分布中，一个重要的特性是，如果两个分量 \( x_i \) 和 \( x_j \) 互不相关，那么它们实际上是独立的。 在模式识别和统计决策理论中，尤其是贝叶斯决策理论，这些概念有着重要的应用。贝叶斯决策理论是一种基于概率的分类方法，它假设类别总体的概率分布是已知的，并且要决策的类别数量是固定的。在这个框架下，我们通常需要计算先验概率（即在获得任何特定观测之前对类别的概率估计）和后验概率（在考虑到观测数据后对类别的概率估计）。 例如，在分类问题中，我们可能有一个特征向量 \( x \) 来描述样本，我们需要决定这个样本属于哪个类别，如是“男生”还是“女生”。先验概率在这里表示在没有观察到 \( x \) 时，一个学生是男生的概率 \( P(\text{男生}) \) 或是女生的概率 \( P(\text{女生}) \)。而类条件概率密度函数 \( P(x|\text{男生}) \) 和 \( P(x|\text{女生}) \) 描述了给定性别下特征向量 \( x \) 的分布情况。 后验概率 \( P(\text{男生}|x) \) 和 \( P(\text{女生}|x) \) 是在观察到特征向量 \( x \) 后，样本是男生或女生的概率。在贝叶斯分类器中，通常的目标是找到最大化后验概率的类别，这就是所谓的最大后验概率分类。 贝叶斯决策还可以采用最小错误率法则，其中分类决策是基于预期错误率最小化的原则。比如在区分鲑鱼和鲈鱼的例子中，我们会选择使得总体错误率最低的分类策略。这通常涉及到计算每个类别决策的错误代价，并选择总代价最低的决策。 除了最小错误率法，还有其他决策准则，比如最小风险 Bayes 分类器、聂曼-皮尔逊判别准则和最大最小判别准则。这些准则在不同的情况下可能会提供更优的决策方案，取决于错误代价函数和数据分布的特性。 在实际应用中，贝叶斯决策理论不仅适用于简单的二分类问题，也可以扩展到多分类任务。通过理解并应用这些概念，我们可以更好地解决模式识别和分类问题，尤其是在数据不确定性和有限先验知识的条件下。