梯度下降与线性回归：从最小二乘到Logistic回归

“梯度下降算法-5.1回归与最优化” 本文主要介绍了梯度下降算法在回归问题和最优化中的应用，特别是在线性回归中的使用。线性回归是一种预测模型，它通过找到最佳的直线或超平面来拟合数据点，以便对未知数据进行预测。在多变量情况下，线性回归模型通常表示为y = θ1x1 + θ2x2 + ... + θnxn，其中θ是模型参数，x是特征变量。 为了找到最佳的模型参数，我们使用最优化方法，如梯度下降。梯度下降是一种迭代优化算法，用于寻找函数的局部最小值。算法开始时，随机初始化参数θ，然后在每次迭代中，沿着目标函数J(θ)梯度的反方向更新θ，以使J(θ)逐渐减小。这个过程会持续到J(θ)不再显著减少或达到预设的停止条件为止。学习率α决定了每次迭代时参数更新的步长，过大可能导致未收敛，过小则可能使收敛速度过慢。 在最小二乘法中，我们的目标函数通常是所有样本误差平方和的平均，即J(θ) = (1/(2m)) * ∑(hθ(x(i)) - y(i))^2，其中hθ(x)是模型的预测值，y(i)是实际值，m是样本数量。通过梯度下降，我们可以找到使J(θ)最小化的θ值。 除了批量梯度下降（Batch Gradient Descent），还有随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）和小批量梯度下降等变体。随机梯度下降在每次迭代时只使用一个样本来更新θ，这加速了收敛速度，但可能导致波动较大。而小批量梯度下降是这两者的折中，每次更新使用一小部分样本来计算梯度，既保持了较快的收敛速度，又减少了随机性。 线性回归不仅限于线性关系，它可以处理非线性数据，只要对参数θ是线性的。局部加权线性回归（LWR）进一步扩展了这一概念，它根据每个样本与当前预测点的距离赋予不同的权重，以适应局部变化。 此外，非参数学习算法与参数学习算法（如线性回归）不同，它们不预先设定模型的复杂度，而是直接从数据中学习模式。Logistic回归是一种典型的参数学习算法，用于分类问题，其模型基于Logistic函数，通过最大似然估计来求解参数。Logistic回归的优化同样可以使用梯度下降法，通过对数似然函数来迭代更新参数。 这篇资料涵盖了线性回归的基本概念，梯度下降算法的原理和应用，以及与最优化、非参数学习算法的对比，特别强调了在实际问题中如何利用这些工具进行数据分析和预测。