2021年SVM公式推导：线性与软间隔支持向量机详解

支持向量机（SVM）是一种强大的监督学习模型，特别适用于分类和回归分析，尤其在处理高维数据和非线性问题时表现出色。这个PPT文档主要涵盖了以下几个关键知识点： 1. 二分类问题：SVM的目标是找到一个超平面，能够最大化样本间的间隔，即决策边界的两侧距离最近的数据点（称为支持向量）最远。对于线性可分问题，有硬间隔（hard-margin SVM）和软间隔（soft-margin SVM）两种类型。 2. 硬间隔支持向量机：在这种情况下，模型追求的是样本点与边界的最大距离，即零误差分类。通过求解一个带有约束的优化问题，其中目标是最大化间隔，并引入拉格朗日乘子法来处理不等式约束，得到对偶问题。SVM模型的求解过程中，需要满足KKT条件，确保模型的全局最优解。 3. 软间隔支持向量机：在现实数据中，数据往往不是完全线性可分的，因此引入了惩罚项C来平衡间隔大小和误分类点的数量。软间隔SVM允许部分样本点位于边界附近，降低了对完美间隔的要求，提高了模型的泛化能力。 4. 核技巧（Kernel SVM）：当数据是非线性可分的，SVM可以通过核函数将数据映射到高维空间，使得原本线性不可分的问题在新的空间中变得线性可分。常见的核函数有线性核、多项式核和高斯径向基函数（RBF）核等。 5. 几何间隔与函数间隔：函数间隔是指样本点到分类边界的距离，而几何间隔则是投影到决策面后的距离。SVM的目标是最大化函数间隔，但实际计算中，常取r=1简化模型，同时考虑间隔最大化和正确分类的要求。 6. 对偶问题与KKT条件：通过拉格朗日对偶性，原问题被转换为一个易于求解的对偶问题。KKT条件是判断优化问题解的必要条件，对于SVM模型，它们帮助确定最优的权重参数和偏置。 7. 求解策略：通过优化对偶问题，找出最优的模型参数，使得分类决策函数既满足分类要求，又具有良好的泛化性能。线性SVM通常采用二次规划求解，而软间隔SVM则涉及到了更复杂的优化过程。 8. 总结：SVM的核心思想包括从约束模型到对偶问题的转换，利用支持向量的特性减少计算量，以及结合KKT条件找到最优解。无论是线性还是非线性问题，SVM都能提供一种有效的分类方法，尤其是在面对复杂数据集时。 通过这份学习笔记，读者可以深入了解SVM的工作原理、求解策略以及在实际问题中的应用，这对于理解和使用SVM进行数据分析至关重要。