欧拉路径与图论基础：欧拉图、半欧拉图与判定方法

图论选讲是江苏省常州高级中学的一门课程，由周润龙教授，主要探讨了图论中的核心概念和算法。课程内容包括但不限于： 1. **欧拉路径与欧拉回路**： - 欧拉路径是指图中一条恰好经过每条边一次的路径，而如果这条路径形成一个环，则称为欧拉回路。在有向图中，判断欧拉路径的存在条件为所有点的入度等于出度；在无向图中，所有点的度数必须为偶数（若有两个点度数为奇数，则起点和终点可以是这两个点）。 - 对于无向图，寻找欧拉路径通常采用深度优先搜索（DFS），每次删除边并递归处理相邻节点，直到所有节点的度减为0。 2. **哈密顿路**： - 哈密顿路是指图中一条经过所有顶点恰好一次的路径，不同于欧拉路径，哈密顿路不一定形成回路。 3. **最短路与最生成树**： - 最短路是指图中两点之间长度最短的路径，常用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法计算。最生成树是一棵树，连接图中所有顶点且边权之和最小，常见算法如Prim算法和Kruskal算法。 4. **差分约束系统与分数规划**： - 这些概念可能涉及图论在优化问题中的应用，比如在有特定限制条件下找到最优解，可能涉及到线性规划或整数规划等数学工具。 5. **图的连通性与二分图**： - 图的连通性研究的是图中任意两个顶点是否可以通过一系列边相连。二分图是指顶点集可以分为两部分，使得每部分内的顶点互不相邻的图。 6. **算法实现**： - 如POJ1386 Play on Words问题，涉及字符串排列，可能需要设计一种算法来找到满足特定条件的单词排列，这可能涉及到图的路径搜索或动态规划。 图论选讲课程深入探讨了图的基本结构、路径和循环性质、最优化问题以及这些概念在实际问题中的应用，通过实例演示和算法实现，帮助学生理解和掌握图论的核心概念。