嵌入式系统中的实时Butterworth滤波器设计

"Butterworth（巴特沃斯）滤波器设计参考，适用于硬件工程师在设计滤波器时作为参考资料。" Butterworth滤波器是一种无失真类型的滤波器，以其平坦的通带和逐渐下降的截止区域而闻名。在电子工程和信号处理领域，它们常用于去除噪声、平滑信号或隔离特定频率成分。在嵌入式系统中，特别是在音频产品的开发中，巴特沃斯滤波器被广泛应用于低通滤波器(LPF)和高通滤波器(HPF)的设计。 设计巴特沃斯滤波器时，首先需要了解其归一化的系统函数，通常表示为： \[ H(s) = \frac{1}{(1 + a_1s + a_2s^2 + ... + a_Ns^N)} \] 其中，\( N \) 是滤波器的阶数，\( s \) 是复频变量，\( a_n \) 是滤波器系数。为了保证通带内增益为0dB，通常设置 \( a_0 = a_N = 1 \)。 在这样的条件下，可以得到归一化的巴特沃斯滤波器多项式。例如，对于二阶滤波器，系数为： \[ H(s) = \frac{1}{1 + as^2 + bs^4} \] 对于更高阶的滤波器，系数可以通过特定的公式推导得出，这在陈佩青的《数字信号处理教程》中有详细阐述。书中的表6-4提供了不同阶数滤波器的系数。 将s域转换到z域是数字滤波器设计的关键步骤，因为它允许在离散时间系统中实现滤波器。对于低通滤波器，转换关系为： \[ s = \frac{1}{2\pi f_c} \] 其中，\( f_c \) 是-3dB截止频率，\( f_s \) 是采样频率。对于高通滤波器，转换关系稍有不同： \[ s = \frac{1}{j\omega_c} \] 这里的 \( \omega_c \) 是与截止频率相关的角频率。 低通滤波器的z域表达式涉及 \( \tan(\frac{\omega_c}{2}) \)，而高通滤波器则使用 \( \frac{1}{\tan(\frac{\omega_c}{2})} \)。这些转换使得我们能够在已知采样频率和所需截止频率的情况下计算出数字滤波器的系数。 对于带通和带阻滤波器，设计方法类似，但需要更复杂的系数组合和额外的参数，如中心频率和带宽。带通滤波器允许通过特定频率范围内的信号，而带阻滤波器则抑制这些频率。这些类型的滤波器在通信系统、音频信号处理和许多其他领域都有应用。 巴特沃斯滤波器因其平缓的过渡区和通带内的恒定增益特性而受到青睐。设计滤波器时，需要理解s域到z域的转换，以及如何根据具体需求调整滤波器参数。在嵌入式系统中，能够实时生成滤波器系数的能力对于满足动态需求至关重要。通过参考《数字信号处理教程》等专业文献，工程师可以深入学习并掌握这一设计过程。