Navier-Stokes方程集中质量非协调有限元法的误差分析

"Navier-Stokes方程的集中质量非协调有限元法 (2007年)" Navier-Stokes方程是流体力学中的基本方程，描述了粘性流体在运动时的速度场和压力场的关系。这篇2007年的论文聚焦于一种特定的数值方法——集中质量非协调有限元法，用于解决Navier-Stokes方程的半离散形式。集中质量方法是一种处理有限元方法中质量矩阵的技术，它可以简化计算过程并提高效率。非协调有限元法则是在无法满足协调条件（如Ladyzhenskaya-Babuška-Brezzi条件，LBB条件）的情况下，使用非一致的插值函数来构造近似解，这使得它适用于复杂几何形状的区域。 在论文中，作者戴培良探讨了Navier-Stokes方程的集中质量非协调有限元逼近格式。他首先详细阐述了这种方法的构建，即如何将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。然后，他进行误差分析，比较了真实解和有限元近似解之间的差异，这是评估数值方法精度的关键步骤。通过Navier-Stokes投影算子的性质，作者进一步得到了速度和压力的误差估计，并指出某些估计在特定范数意义上达到了最优。 非协调有限元方法的一个优势在于它的灵活性，它允许使用非规则网格，这对于处理具有复杂边界或不规则形状的流动问题非常有用。Crouzeix-Raviart非协调元是这类方法的典型例子，最初被引入来解决Stokes问题，后来也被应用到Navier-Stokes问题上。尽管非协调元通常不满足LBB条件，但它们在实际应用中依然展现出良好的性能。 论文的贡献在于提供了一种新的误差估计方法，并证明了其在特定情况下的最优性。这对于理解和改进有限元法在Navier-Stokes问题上的应用具有重要意义，特别是在优化数值模拟的效率和精度方面。通过这种方式，研究人员和工程师能够更准确地预测和理解流体动力学现象，例如流体流动、湍流和传热等。