弹性力学问题的有限单元法解析

"有限单元法_王勖成课件3" 有限单元法是解决工程领域中复杂弹性力学问题的一种数值计算方法，由王勖成教授的课件详细讲解。这种方法将连续体离散化为多个小单元，通过构建位移插值函数来近似求解。以下是关于有限单元法的一些关键知识点： 1. **广义坐标和位移插值函数**： - 广义坐标是用于描述单元内任意点位置的一组坐标，不局限于笛卡尔坐标系统。 - 位移插值函数是将结点位移扩展到整个单元内的数学表达式，通常基于多项式函数，使得在结点处位移值与实际相符。 2. **有限元求解方程的基本步骤**： - 基于弹性力学的最小势能原理，构建变分形式的平衡方程。 - 分解整体结构为多个单元，每个单元内部构建位移插值函数。 - 单元刚度矩阵表示单元内力与位移的关系，而载荷向量则包含外部作用力。 - 各单元刚度矩阵和载荷向量组合形成整体结构的刚度矩阵和载荷向量。 3. **位移边界条件的处理**： - 在求解有限元方程之前，必须考虑位移边界条件，即强制位移或约束，通过调整刚度矩阵和载荷向量实现。 4. **有限元法的收敛性**： - 收敛性是指随着单元数量增加，有限元解趋于精确解的程度。收敛准则通常基于残差或误差估计。 5. **不同类型的单元**： - 如课件中提到的三结点三角形单元，适用于平面问题，具有较少的自由度和计算效率。 - 矩形单元和三维单元则用于更复杂的几何形状和三维问题。 6. **单元刚度矩阵的性质**： - 对称性：在线性弹性问题中，单元刚度矩阵是对称的，这源于物理守恒定律。 - 奇异性：某些特殊条件下，如自由边界或无限域，单元刚度矩阵可能奇异，需特别处理。 7. **结构刚度矩阵的集成**： - 整体结构的刚度矩阵由所有单元的刚度矩阵组合而成，通常通过逐单元积分实现。 8. **位移元的完备性和协调性**： - 完备性确保位移元可以近似任何可能的解。 - 协调性保证在单元接口上的连续性，确保全局解的物理合理性。 9. **位移元解的下限性**： - 有限元解提供了解的下限，意味着它至少不会低于真实解。 通过以上步骤，有限单元法可用于解决各种弹性力学问题，包括轴对称问题。这种方法的灵活性使其在工程实践中广泛应用，如结构分析、热传导、流体力学等。