小波分析基础：连续小波变换及其应用

"小波分析课件 - 连续小波变换" 小波分析是一种强大的数学工具，尤其在信号处理领域中广泛应用。它综合了傅立叶变换和短时傅立叶变换的优点，能对时变信号进行局部时频分析。在本课件中，主要讨论的是连续小波变换。 **连续小波基函数** 小波，又称为小波母函数，是小波分析的基础。它是一类特殊函数，可以同时在时间和频率上提供局部化的分析。小波函数具备以下特点： 1. **可伸缩性**：通过调整参数，小波可以伸缩或压缩，以适应不同的频率成分。 2. **可平移性**：小波可以平移到任意位置，以分析信号的不同时间点。 3. **正交性**：经过适当的离散化，连续小波基函数可以形成一组标准正交基，这在信号的离散表示和处理中至关重要。 **小波分析的作用** 1. **信号分析**：小波分析可以在不同尺度下分析信号，揭示信号在不同时间尺度上的特征。 2. **压缩编码**：利用小波基进行信号编码，可以有效压缩数据，便于信号传输。 3. **信号去噪**：通过小波变换，可以分离信号的噪声成分，提高信号质量。 4. **奇异性分析**：小波能够精确捕捉信号中的突变点，这在故障诊断和预测中极为有用。 5. **二维情况下的应用**：在图像处理中，小波分析具有方向选择性，可用于边缘检测和纹理分析。 6. **连续小波变换**及其特性：包括小波变换的定义、性质以及逆变换，它们构成了小波分析的核心。 7. **重建核**：小波变换的逆过程，用于从小波系数恢复原始信号。 **从傅立叶变换到小波变换** 传统的傅立叶变换将信号从时域转换到频域，但在局部时频分析上存在局限。为了解决这个问题，出现了短时傅立叶变换（STFT），但其窗口大小固定，不能随频率变化，且无法构成正交基。小波变换在1984年提出，继承了STFT的局部化优点，并解决了固定窗口的问题，形成了离散正交基，成为理想的时间-尺度分析工具。 **小波分析的广泛应用** 小波分析被广泛应用于语言、机器振动、金融市场数据、地震信号、音乐信号和医疗图像等多种信号的分析处理。它在信号编码、压缩、去噪、重建和特征提取等方面展现出优越性能，特别是在时变信号的处理上，提供了比传统方法更为精确和灵活的分析手段。