启发式算法解决旅行商问题：有向图与最短路径

"这篇论文是关于旅行商问题的启发式算法的研究，发表于2007年的《河海大学学报(自然科学版)》第35卷第2期，作者包括洪玉振、张际东和李明。文章探讨如何通过有向图表示旅行商问题，利用线性表记录图中弧的信息，转化判断最短路径的问题，并讨论了图上弧在最短路径上的充要条件。此外，还介绍了一种顺序生成图的方法和搜索近似最优解的策略。关键词包括旅行商问题、最短路径、有向图和启发式算法。" 旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是一个经典的组合优化问题，目标是找到一条访问每个城市一次并返回起点的最短路线。在本文中，作者提出了一种启发式算法来解决这个问题。他们使用有向图来表示旅行商从避开特定城市到一个顶点的所有最短路径，每条弧上定义了一个线性表，用于记录包含该弧的图。这种方法将原本复杂的问题转化为对线性表的操作，简化了判断弧和顶点是否应在最短路径上的过程。 文章讨论了图上弧都在某一最短路径上的充分必要条件，这对于构建算法至关重要，因为这有助于识别哪些路径应当被考虑在内。此外，作者还阐述了如何按照特定顺序生成从第1列到第n列顶点的图，以及如何从这些生成的图中搜索近似最优解。这种方法涉及到动态规划的概念，即通过逐步构建解决方案，每一步都基于之前步骤的最优决策。 动态规划是解决旅行商问题的一个常用方法，它基于贝尔曼（Bellman）的最优性原理。然而，本文提出的启发式算法与文献[1]中的方法有所不同，它不是直接应用动态规划，而是基于图和线性表的结构进行操作。文献中提到的其他研究，如Belhnan、Clientsov和Cααhen的工作，分别探讨了路径优化、离散-连续优化方法和与旅行商问题相关的其他算法。 1.1节中，作者定义了表示旅行商避开特定城市到顶点V(Pk)的最短路径的图G(V(Pk))，以及包含所有这些路径的弧的集合。同样，也定义了从V(qk-1)到V(Pk)的最短路径的图G(v(Pk)lv(qk-'))。这些图的构造和分析是算法的基础，它们帮助确定在解决问题时应考虑的路径。 这篇论文提供了一种创新的启发式方法来处理旅行商问题，通过有向图和线性表的结合，简化了路径优化的计算过程，并提出了生成近似最优解的策略。这种方法对于实际应用中的路径规划和优化具有一定的指导意义，同时也为研究旅行商问题的理论提供了新的视角。